ローレンツ収縮

質問

特殊相対性理論に関する質問です。
長さが30万kmの列車があるとします。
この列車がごくわずかな時間で光速ギリギリまで加速したとします。
この列車がローレンツ収縮をしたと仮定すると列車が光速を越えて縮むように観測される
状況が作れてしまうのですが。
このような収縮は本当にあり得るのでしょうか。

回答No.20

noname_deadbeef

No.19です。
次元は合ってました。失礼しました。

回答No.19

noname_deadbeef

No.18です。

（ひずみエネルギーの件は、もともとそれより強い（ポテンシャルの深い）結合でつながっていて、引っ張れば質量欠損のある状態からない状態に変化する＝ひずみエネルギーが質量と等価でありしかも元々それだけの質量があった、と考えれば一応穴は無さそうです）

No.10さんに対する補足にある「相対的剛体」とNo.12さんに対するお礼にある

>後端の列車がどのような理由にせよ100光秒先の引っ張るという状況は考えられません。
>情報の伝達が光速を超えています。

を両方採用したら多分私のような議論になるはずです。
限界長より短くても情報の伝達に限界があるのだから一時的にひずみが発生するのです。
限界長より長くても先頭からのゴムパッチンによりいつかひずみが解消されるのです。
前端か中間のある車両が加速度aを強制されているならゴムパッチンが止まるので見かけの地平面による後端からの逃げ切り論も可能ですが、ついでに後端も加速度aを強制されていたら限界長より短くたって逃げ切りが可能になります。

「限界長」以下の「相対的剛体」に光速の制約を考えないというならそれは単なる恣意です。どう考えるかは自由ですがそれを正解だなどとドヤ顔で語られても。

ところで
>「c^2/a」以上の長さ
というのが次元があっていないように見えるんですが、よろしいのでしょうか？？

回答No.18

noname_deadbeef

なるほど。相対論的剛体ですか。ぐぐってもあまり情報がなかったので自分なりに定義してよろしいでしょうか。
「情報（光速）的または幾何学的に禁止されていない限り、全力で自然長に戻ろうとする連続体」
音速がほぼ光速だということは、比剛性がとてつもなく高い、つまりとても軽くとても元に戻ろうとする力が強い物質を想像することになります。
そういうブツの各所にエンジンなりを取り付けてある瞬間（それまでそのブツが静止していた慣性系における同時刻）に一斉にエンジンを動かして加速を始めた。
軽い物体ですから加速に大した力は必要ありません。加速していくうちに中央部は自然長がローレンツ収縮しているのに前後から拘束を受けて本人的には引き伸ばされます（これが実際に高い比剛性を持つ材料だったらとんでもない弾性ひずみエネルギーが発生することになるのですがどこから供給されているのでしょうか、以前から気になってます…）
前後に材料がつながっている部分は、さらに遠くで材料が途切れていることを「知る」までおとなしく引き伸ばされるしかありません。
前端の先にはつながっているものはありません。加速開始から1秒後には前端から30万kmはほぼ自然長になります。この領域は毎秒30万kmの速さで広がっていきます（広がっていく先端（後端方向）がどうなっているかの情報が前端方向に戻るのにも光速の制約があるので（とすれば）「ほぼ」はしばらくなくなりませんが、以後の議論の大勢に影響はないと思います）
中間の任意のある点に着目します。材料が何光年あろうともいつかこの「ほぼ自然長」領域がやってきます。それまでおとなしく引き伸ばされていたそことそれより後方の材料は、以降どんどんほぼ自然長に戻っていきます。後方100光年分（自然長で）の材料が100％引き伸ばされていたら強制的に100光年引き戻されることになります（この場合は200年かけて。そしてそれまでに獲得した速度は別）。この間エンジンによる加速はなんの役にもたちません。加速に大した力が必要なかったはずなのですから（え、エンジンはそれを上書きするぐらい出力をアップする？だったら最初から前端のエンジンが頑張って永遠に物体を一様に引き伸ばし続ければよかったのでは？そしてそれ剛体の立場がないですよ）
以上の前端からの「ほぼ自然長」領域と後端からの「ほぼ自然長」領域が（多分後端に近い所で）出会ってさらにその情報が後端と前端に伝わりきれば、物体全体が自然長に戻って、以降は物体各所のエンジン出力が「剛体」を通じて再配分され「物体全体が自然長（一定）で、前端の加速度が小さく、後端の加速度が大きい」状態に落ち着きます。
以上の議論において、「論理的に限界な長さ」というものは出て来ません。長ければ長いほど、また加速度が大きいほど「ほぼ自然長領域が来るまでに物体が引き伸ばされる弾性ひずみ量」は大きくなるでしょうが、であれば「1％ひずみでちぎれるのか、それとも100％ひずみでちぎれるのか」を宣言しないと「ちぎれる」議論はできないように思います。

回答No.17

mikamikadon

列車がある速度Vになったら加速をやめる場合。
加速を開始するのはSに対して同時だが、加速を終わるのは、Sから見て同時ではなく、「加速終わるよ」というサインが列車の各部にある場合、そのサインは後ろから始まって前に行く。列車の先頭部分まで加速が終われば、列車全体はSから見てx軸方向にVの速度で動く慣性系S'の住人となる。Sから見たローレンツ収縮も一様となる。

この問題を解くのは、慣性系と加速系の座標変換を使わずに純粋に特殊相対論のみで可能。

a0とa1が異なるのは、Lが非常に長い場合。

列車の乗客から見た場合どうなるか？も問題にする場合は別だが。
Sから見ると、加速終了は同時ではないが、列車の乗客から見ると、加速開始と加速終了は、列車内すべて同時と観測する。従って。
最後尾にいる乗客は「この列車の加速度はa0だ。先頭にいる乗客の感じる慣性力が小さいのは、自分よりLだけ高い位置にいるために、先頭部分の時間の進み方がはやいからだ」と主張し、先端部分の乗客は「この列車の加速度はa1だ。最後尾（中略）時間の進み方が遅いからだ」と主張する、と解釈可能。

Lが1000光秒で、まったく同じ長さのプラットホームに最初停車していたとした場合、列車の最後尾の観測者から見て、1000光秒先にあったはずのプラットホームを1秒で過ぎることは可能。その後プラットホームはブラックウォールまで列車から見ていつまでたっても到達しない。

回答No.16

thunderfish

計算間違いしたのだけど、固有加速度は合っていそうです。
大事なこと忘れました。
x軸プラスの方向に列車が動くとして。
最後尾の加速度 a0 = c^2/x0
最先端の加速度 a1 = c^2/x1 = c^2/(x0+L)
列車内の観測者は、t=0のとき、Sの原点からの距離に反比例した加速度となる。
x0は0に近づくほど最後尾の加速度はいくらでも大きく出来る。
全体がt=0でSから見て同時に動きはじめるから、全体がローレンツ収縮するが、後尾ほどより縮む。

線路はまっすぐでないと駄目。
もし、山の手線で車両を継ぎ足して一周して、先端と最後尾を連結すると、収縮しようがないので、どこか千切れる。

困っての質問ではなく、講義のための質問のようなので、思考のプロセスを書かせていただきました。これだけ書けば、どこか間違えているだろうと思うので、間違いを指摘していただくと、私の勉強になるのでうれしいです。

回答No.15

mikamikadon

いわゆる啓蒙書で学んだ者ですが。
何が問題なのでしょうか？

取りあえず1次元の運動なのでx軸方向の運動として。
私が考えたのは、慣性系Sから見てｍx^2-c^2t^2 = (一定) という運動は、原点からの4元距離が一定の線で、当然、双曲線になります。
（一定）は(c^2/a)^2 で、aはt=0での座標加速度で、かつ、t=0のときは質点は一瞬静止しているわけだから、固有加速度と一致します。
ｔ=0のときの、列車の最後尾をx0（>0）、先頭部分をx1（>x0) とし、L=x1-x0 とすると、これはSに対して一瞬停止していたときの長さなので、固有長です。
t≧0 のとき、列車の各点上の観測者がSの原点から4元距離を保つ軌跡を描けば、固有長Lを保存する運動になります。列車に乗っている観測者の数だけの双曲線群ができるわけです。
さらに、これらの双曲線群は、Sと原点を共有して、x軸方向の相対速度を持つ慣性系へのローレンツ変換によって変化しません。ということは、個々の観測者は固有加速度一定の運動をしていて、原点から引いた直線とそれぞれの双曲線が交わる点で加速を止めれば軌跡は直線となり、観測者たちは共有された一つの慣性系に属することになります。

だから、これは、固有長と（個々の観測者にとって）固有加速度一定の運動となります。
従って、この場合は、最後尾がx0>0を満たす限りこういう運動は可能となります。
x0が0に近い程、最後尾は急加速となります。
列車の先頭部分は、x^2-c^2t^2 = (l+X0)^2 の運動をしなければいけないために、加速は緩やかにしなければいけません。

ローレンツ収縮で一部が超光速にならないのか？ の疑問は、そのためには、その部分がSから見て実際に超光速で動かなければいけないため無理だ、となります。

列車の各観測者は地球の重力を差し引けば一様重力場にいますが、Sの原点は共有された事象の地平線となります。先頭が「上」で最後尾が「下」なので、加速度運動に伴う時間の進み方云々が起こります。

x0=0 のときは、最後尾の列車が静止から一瞬で光速に一致する加速をしなければいけないので、固有長保存の運動は無理となります。x0<0 のときは、光でも追いつけないのでやはり無理。

固有加速度が変化する場合はどうか？
列車がx軸方向にvの速度になったときに加速度が変化したとします。加加速度が発散するのは容認するとして。
Sに対してx軸方向にvで動く慣性系S'を考えます。するとS'でt'=0のとき、列車上の各観測者の加速度が変化します。t'>0のとき、S'と等速度で原点をx'軸上で移動した座標系S''（加速が強くなるときは原点を列車に近づけ、弱くなるときは遠ざけます）での、双曲線群の動きになると考えられますから、本質的に固有加速度一定の場合と同じで、慣性系の原点が列車の最後尾より後ろにある限りこのような運動は可能となります。

ただし、各車両が自力で加速している場合ですが。

ローレンツ収縮は、最後尾部分がきつく、最先端部分が緩く起こります。
この列車は、あくまで、列車内の乗客から見て固有長が変化しないだけで、同時の相対性により、外の慣性系から見れば、伸び縮みしてもまったく不思議はありません。

回答No.14

mikamikadon

まず、列車が先頭のみに動力があって、後ろを引っ張るとか、後ろの車両のみに動力があって前を押すような状況ですと、力の伝達速度は列車を構成する材料内の音速（当然光速以下）でしか伝わらないので、「ごくわずかな時間で光速ギリギリまで加速」するのは難しいでしょう。

そこで、列車の各車両が独立に動力を持っていて自力で走る場合を考えます。

さらに、質問を厳密化して、列車の乗客から見た列車の長さ（固有長）が一定であるように加速可能か？という問題だとします。

すると、（あくまで原理的・理論的な話ですが）最後尾の車両は「ごくわずかな時間で光速ギリギリまで加速」することは可能です。

ところが、列車の固有長が一定という条件を付加すると、最後尾のひとつ前の車両は、最後尾より（大地から見た）加速度を小さくしなければいけません。ということで、前の車両ほど加速度は小さくしなければいけません。従って、先頭の車両は「ごくわずかな時間で光速ギリギリまで加速」することは無理、ということになって、やはり超光速にはならないことになります。先頭車両があまり加速すると、車両間の連結器がちぎれてしまいます。

時空図で言えば、各車両は、 http://homepage2.nifty.com/eman/relativity/uni_accel.html に出てくるリンドラー座標の青い線のように動くことになります。

問題なのは、この図で、最後尾の車両が原点より左にあったらどうなるか？ ですが。固有長が一定という条件で運動することは不可能（最後尾の車両は超光速で動かなければならないから）となります。連結器も理論的にちぎれるしかないわけです。

参考URL：

http://homepage2.nifty.com/eman/relativity/uni_accel.html

回答No.13

shiara

No.12のものです。
元の座標変換の式　cT=(x+c^2/g)sinh(gt/c)　を見てもらうと分かりますが、加速度系で同じ時刻でも、場所が違えば、慣性系での時刻が違ってきます（これはローレンツ変換でも同様です）。列車の先頭が遠くなれば、慣性系での時刻は後になります。逆に言えば、慣性系で同じ時刻で見たとき、先頭が遠いほど、加速度系での時刻はずっと前だということです。つまり、それほど加速していないときの速さになっています。
慣性系で長さを測るということは、先頭と最後尾を（慣性系から見て）同じ時刻で比べるということですから、先頭と最後尾の速さが違うのは当然のこととなります。

お礼

回答有り難うございます。

<<　cT=(x+c^2/g)sinh(gt/c)　を見てもらうと分かりますが、
　　加速度系で同じ時刻でも、場所が違えば、慣性系での時刻が違ってきます

それはわかっています。そうなるのが当たり前です。
ですがそこが論点では無いのです。
意図が伝わってないようなのでもう少し掘り下げて説明します。
因みに加速系の取り扱いは初めから理解しております。
No.12の計算もこの質問を立てる前から既に自分で計算済みです。
（理解していることをアピールしておかないと、これ以降を読んですら貰えない危険を感じたので）

1.前提条件との矛盾

No.12の計算は実際の所

「ある車両（加速系）から見た車両長さLが保たれるためには、慣性系から見て遠くの車両はゆるやかに加速しなかればならない」
「ある車両（加速系）から見た車両長さLがを保持たれるという条件は、慣性系から見て車両全体が光速ギリギリまで加速するという条件と両立しない」

という事しか示していません。

ここでこの「ある車両（加速系）から見た車両長さLが保たれる」という前提が適切であるのかどうか議論します。
以下をお読みください。

2.結果が一致しない

加速系の原点の取り方を変えた時、
つまり列車のどの車両（加速系）を基準とするかを変えた時
言い換えれば、列車の長さを0からLにするか、-Lから0にするか、Lから2Lにするかで結果が全く異なります。
試してみてください。

3.それぞれの車両（加速系）は平等ではない

列車の長さLが保たれるのは、あくまで「原点から加速を始めたその1点からみた場合」のみです。
Q1で示したとおり各車両の加速はそれぞれ異なるわけですから、
x=0の車両から見た場合には、常に列車の長さLは変化しませんが
x=Lの車両から見た場合には、常に列車の長さLは変化し続けます。

4.ある車両を特別視している

各車両（加速系）が平等ではない以上
No.12の計算では「どの車両からみた長さLが保たれると設定するか」という恣意的な条件設定が必ず介在しています。

5.恣意的な加速

あくまで計算上基準とした車両のみが「加速度g」なのであり、その他の車両の加速度は
「特別に選んだ系から見た列車の長さが一定となるよう、副次的に求められる加速度」でしか無いのです。
すなわち各車両の加速条件は物理的・物性的条件ではなく、問題設定上の恣意的な条件設定によって成り立っています。

6.そもそもの題意

No.12の計算自体は有意義なものですが(*)

この質問トピックでは、
「列車の各車両に噴射装置を同じく設置し、慣性系からみた同時で作動させる」その様な前提で
「列車はどのように動き、収縮するのか」
を考察して貰いたいのです。

「列車がどのように動くのか」を決定した後に
「各車両がどのように加速していると観測されるのか」を論じて貰いたいわけではありません。

(*)ただし
（前端の速度）-（後端の速度）
という単純な速度の差分で相対速度を表している表現にはちょっと引っかかりました。
まあ便宜上そうするのが良かったのかもしれませんが。

7.加速を制限するのは何者なのか

「加速を制限するのは何者なのか」＝「加速系から見た長さLを一定にするのは何者なのか」
力学的な意味を考えます。
「ある特定の車両（加速系）から見た列車の長さLを一定となるように定めた」のですから。
車両同士が引き合う力（剛体であろうとする力）によって加速が制限されていると考えるのが妥当ですが。
1秒の加速の間に100光秒先車両の加速が制限されるのかと考えると
慣性系から見て、1秒間に100光秒先の情報（力）を知り得てしまうことになるのでそれは事実上不可能です。

内容に納得が行かないのであれば、導出過程の式なりエクセルのグラフなりで解説しますので
該当箇所を言ってください。

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さて、かなり答に近づいてきたのですが、他の回答者の方の意見はどうですか？

回答No.12

shiara

加速度運動している物体のローレンツ収縮は、慣性系と加速度系の間の座標変換式から求めることができます。今、慣性系から見て、X軸方向に一定加速度gで加速度運動している座標系を考えます。慣性系の座標を大文字で書くことにして（X,T）、加速度系の座標を（x,t）と小文字で表すことにします（y,z軸は変換を受けないので、省略します）。慣性系と加速度系の座標変換式は次のようになります。
X=(x+c^2/g)cosh(gt/c)-c^2/g
cT=(x+c^2/g)sinh(gt/c)
上記の2式からtを消去すると、
X=√((x+c^2/g)^2+(cT)^2)-c^2/g
この式は、加速度系の座標xが、慣性系の時刻Tの時、X座標が何になるのかを与えますので、この式を使って、加速度系の2点の距離が慣性系でどうなるのかを求めることが出来ます。今、簡単のため、列車の最後尾の座標を0とし、先頭の座標をLとします。そうすると、慣性系から見た列車の長さL’は
L’=√((L+c^2/g)^2+(cT)^2)-√((c^2/g)^2+(cT)^2)
となります。この式をTで微分すると、収縮の速さが求まります。
ごくわずかな時間で光速ギリギリまで加速したという状況は、gを無限大とした場合に相当しますので、それで収縮の速さを調べてみると、光速度を越えることはないことが分かります。

お礼

難うございます。
きちんと勉強して回答してくれる方が多くて嬉しい限りです。
とても良い回答です。

一つの質問を3つに分けて伺います。

Q1.

加速系から見た列車の長さLを100光秒
加速度gをc（*1）
加速の時間を1秒
として代入します。

X=(x+c^2/g)cosh(gt/c)-c^2/g
この式をそのまま使います。

列車の後端(x=0)の速度
(dX)/(dT)=c^2T/√(c^2+(cT)^2)＝0.71c

つまり光速の71%まで加速しています。

ですが、
列車の後端(x=100c)の速度
(dX)/(dT)=c^2T/√((100c+c)^2+(cT)^2)＝0.0099c

つまり光速の1％しか加速していません。

列車の前端だけあまり加速していません。
列車が更に長ければ長いほど、前端はほとんど加速していない事になります。
列車の両端の差が光速を超えないのは頷けますが、
これでは質問の条件を満たしていません。

Q2.

Q1で場所によって1秒後の速度が変わりますが
どの車両にも同じ加速度を与える前提で
車両ごとに1秒後の速度が異なるのは妙です。
原点の取り方でどのようにでも同じ質点の1秒後の速度が変わってしまいます。

Q3.

例えば
加速系から見た列車の長さLを一定だと考えて式を解いたので
加速系から見て列車の後端が先端を引っ張るから、
慣性系から見て先端は加速を阻害されるのだと考える
こともできます。

しかしこの場合一秒間の加速において、
後端の列車がどのような理由にせよ100光秒先の引っ張るという状況は考えられません。
情報の伝達が光速を超えています。

(*1)慣性系から見てではなく、加速する質点自身から見てです。
　　なので1秒で光速には至りません。

回答No.11

alchool

tknakamuriの「尾部から縮む」ってのは多分

加速後の系から見て、前部が最初に加速後の系に張り付くから
その瞬間列車の尾部が引っ張られるとか考えてるんじゃなかろうか。
だから、静止系に直した時に「尾部」が先。

つまり尾部が実際に引っ張られるまでの有限の時間を考えてない。

実際どうなんかは知らないが、もしそうだとしたら
No.9で書いた内容はさっぱり理解できてないだろう。
ましてやバラバラになる理由・限界長がある理由・その範囲で相対論的剛体になる理由などもっての他。