（至急）筑波大学2013数学

質問

こんばんわ

筑波大学2013年の数学についての質問です

以下a(n)を数列{a}のn項をあらわすとします

a(n+1)=-b(n)-c(n) n=1,2,3...
b(n+1)=-c(n)-a(n)
c(n+1)=-a(n)-b(n)

a(1)=a,b(1)=b,c(1)=cのとき

q(n)=(-1)^n{a(n)^2+b(n)^2+c(n)^2}とする

T(n)を数列q(n)の初項から 2n項までの和とする

このときのT（n）を求めてくださいませんか？

なぜなら、これでT(ｎ)が正の奇数であることを証明する問題が出たのですが
私は直接T(ｎ)をもとめて解いたのでT（ｎ）を求め間違えてると全滅になり不安で仕方ないからです

解答速報は出てるのですが、T(ｎ)を直接求めず間接的に解いているので（まあそりゃそうですね）
T(ｎ)がわからないのです

どなたかお願いします

回答No.4

nag0720 · ベストアンサー

p(n)=a(n)+b(n)+c(n)は等比数列

ついでに、
s(n)=a(n)b(n)+b(n)c(n)+c(n)a(n)
とおけば、s(n)の階差数列は等比数列になる。

あとは、
a(n)^2+b(n)^2+c(n)^2=p(n)^2-2s(n)
となるから、これからT(n)を求めると、

T(n)=(16^n-1)(a+b+c)^2/15

T(n)が正の奇数になるかどうかはa,b,cの値にもよるが、
a+b+cが奇数ならT(n)は正の奇数になる。

お礼

お礼がだいぶ遅くなってしまい申し訳ありません

ちなみに私は計算ミスをやらかしたようなので
証明は点が一切はいらないとおもいます・・・・

すごいスマートなやりかたでいいですね
私計算ごり押しでやったあげく間違えるっていう最悪な
パターンになってしまいました・・・

回答ありがとうございました

回答No.8

ask-it-aurora

No.6 の回答がビミョーに間違ってますね．訂正します．

-- q(n) = (-1)^n |v(n)|
++ q(n) = (-1)^n |v(n)|^2

-- D = [[1, 0, 0], [0, -2, 0], [0, -1, 1]] としたとき
++ D = [[1, 0, 0], [0, -2, 0], [0, 0, 1]] としたとき

お礼

お礼がだいぶ遅くなってしまい申し訳ありません

ちなみに私は計算ミスをやらかしたようなので
証明は点が一切はいらないとおもいます・・・・

何回も回答してくださりありがとうございました

回答No.7

alice_44

ベクトル漸化式イイネ。
係数行列が対称だから、対角化の変換行列が直交になることが、
Σ|v(n)|^2 が比較的簡単な式になることの理由なんだなあ。

お礼

お礼がだいぶ遅くなってしまい申し訳ありません

ちなみに私は計算ミスをやらかしたようなので
証明は点が一切はいらないとおもいます・・・・

試験中んいそんなこと一瞬もかんがえていませんでした・・・

回答くださりどうもありがとうございました

回答No.6

ask-it-aurora

a(n) + b(n) + c(n) を考えると問題がかんたんになるんですね，気づきませんでした(汗)．

すでに回答がありますが，参考までに別解を．
v(n) = [a(n), b(n), c(n)],
T = [[1, -1, 0], [1, 1, 1], [0, -1, 1]]
とおきます．すると問題は
v(n + 1) = v(n) T,
v(1) = [a, b, c],
q(n) = (-1)^n |v(n)|
のとき T(n) = q(1) + … + q(2n) を求めよ，と言い換えられます．

v(n) = v(1) T^(n - 1) なので T の冪を計算しておくと便利です．P = Q^(-1), Q = [[1, -1, 0], [1, 1, 1], [0, -1, 1]], D = [[1, 0, 0], [0, -2, 0], [0, -1, 1]] としたとき
T = PDQ
と分解できます．T が対称行列であることに注意すれば
q(n) = (-1)^n v(1) T^(2n - 2) v'(1) = (-1)^n v(1)PD^(2n - 2)Qv'(1)
です．ただし v'(1) は v(1) の転置．これを計算すれば
q(n) = (-1)^n [(a^2 + b^2 + c^2) + (a + b + c)^2 {4^(n - 1) - 1}/3].
T(n)は偶数個の交代和なので
T(n) = Σ (-1)^k (a + b + c)^2 {4^(k - 1)}/3 = (a + b + c)^2Σ (-4)^k/12 =
(a + b + c)^2 (16^n - 1)/15 = (a + b + c)^2 {1 + 16 + 16^2 + … + 16^(n - 1)}.

お礼

お礼は↑でさせていただきました

回答No.5

spring135

＃3です。

q(n)は右辺を3で割ることを忘れていました。

q(n)=(-1)^n{a(n)^2+b(n)^2+c(n)^2}/3
　　=(-1)^n×2^(2n-2)(a+b+c)^2/3+2(-1)^n(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)/3

=(-4)^n[(a+b+c)^2/12]+(-1)^n[2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)/3]
=(-4)^n×A+(-1)^2×B

A=[a+b+c)^2/12, B=2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)/3

とすればあとは同じです。

T(n)=Σ(i=1,2n)q(n)=(-4)[(-4)^2n-1]A/(-4-1)=4(4^2n-1)A/5

(Bの入る項は-＋-＋....で0）

お礼

お礼がだいぶ遅くなってしまい申し訳ありません

ちなみに私は計算ミスをやらかしたようなので
証明は点が一切はいらないとおもいます・・・・

2回も回答どうもありがとうございました

回答No.3

spring135

＞
a(n+1)=-b(n)-c(n) n=1,2,3...
b(n+1)=-c(n)-a(n)
c(n+1)=-a(n)-b(n)

a(n+1)+b(n+1)+c(n+1)=-2(a(n)+b(n)+c(n))=(-2)^n(a+b+c)

(a(n+1)+b(n+1)+c(n+1))^2=(-2)^2n(a+b+c)^2=2^2n(a+b+c)^2

(a(n)+b(n)+c(n))^2=2^(2n-2)(a+b+c)^2　　　(1)

a(n+1)-b(n+1)=a(n)-b(n)=a-b
b(n+1)-c(n+1)=b(n)-c(n)=b-c
c(n+1)-a(n+1)=c(n)-a(n)=c-a

(a(n)-b(n))^2+(b(n)-c(n))^2+(c(n)-a(n))^2=2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) (2)

(1)＋(2)

3(a(n)^2+b(n)^2+c(n)^2)=2^(2n-2)(a+b+c)^2+2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)

q(n)=(-1)^n{a(n)^2+b(n)^2+c(n)^2}
　　=(-1)^n×2^(2n-2)(a+b+c)^2+2(-1)^n(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)

=(-4)^n[(a+b+c)^2/4]+(-1)^n[2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)]
=(-4)^n×A+(-1)^2×B

T(n)=Σ(i=1,2n)q(n)=(-4)[(-4)^2n-1]A/(-4-1)=4(4^2n-1)A/5

(Bの入る項は-＋-＋....で0）

お礼

お礼は↑でさせていただきました

回答No.2

alice_44

a(n)+b(n)+c(n) が等比数列であることに気づけば、
a(n), b(n), c(n) がそれぞれ等比数列の和として求められる。
あとは、q(n) の定義式へ代入して、ゴリゴリΣするだけかと。

お礼

お礼は↑でさせていただきました

補足

そのごりごりの値が知りたいんです

正答率の計算したいんです
浪人するかしないかとかあるので

お願いします

回答No.1

ask-it-aurora

途中までやってみたのですが(僕の頭が悪いのか)ものすごく面倒くさそうな計算になってしまいました．よければこの回答への補足でどのように解答したかを書いてくれませんか？

ちなみに最初の漸化式は解いたら
3 a(n + 1) = {(-2)^n + 2}a + {(-2)^n - 1}b + {(-2)^n - 1}c
3 b(n + 1) = {(-2)^n - 1}a + {(-2)^n + 2}b + {(-2)^n - 1}c
3 c(n + 1) = {(-2)^n - 1}a + {(-2)^n - 1}b + {(-2)^n + 2}c
となりました．

お礼

お礼は上でさせていただきました

補足

すいません途中の小問を省略しているためそのように感じるのだと思います

これ（1）でp(n)=a(n)+b(n)+c(n)って誘導があります
それで求めて

a(n)=a-1/3(a+b+c){1-(-2)^(n-1)}
b(n)=b (以下同様)
c(n)=c (以下同様)

となります

そのあとから自信ないのでお願いします！