数学の統計の問題です。

質問

統計学の問題で質問があります。(３)が分かりません。どうか、解答、解説をよろしくお願いします。問題は以下です。

ある家庭には固定電話1個と携帯電話２個があるとする。１日に固定電話にかかってくる電話の回数Xは平均E(X)=4のポアソン分布Po(4)に従う。１日に2つの携帯電話にかかってくる電話の回数をそれぞれY,Zとし、これらはいずれも平均E(Y)=E(Z)=3のポアソン分布Po(3)に従い,それらは独立とする。そのとき,次の問に答えよ。
(3)1日にその家庭にかかってくる電話の回数の合計がX+Y+Z=10であるとき,固定電話の回数Xはどのような分布し従うか。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

P(X=k)=e^{-4}4^k/k!
P(Y=k)=e^{-3}3^k/k!
P(Z=k)=e^{-3}3^k/k!
↓
P(Y=j)P(Z=10-k-j)
=(e^{-3}3^j/j!)(e^{-3}3^{10-k-j}/(10-k-j)!)
=(e^{-6})(3^{10-k})/{j!(10-k-j)!}
↓
Σ_{j=0～10-k}P(Y=j)P(Z=10-k-j)
=Σ_{j=0～10-k}(e^{-6})(3^{10-k})/{j!(10-k-j)!}
=(e^{-6})(3^{10-k})Σ_{j=0～10-k}1/{j!(10-k-j)!}
={(e^{-6})(3^{10-k})/(10-k)!}Σ_{j=0～10-k}(10-k)!/{j!(10-k-j)!}
={(e^{-6})(3^{10-k})/(10-k)!}Σ_{j=0～10-k}{(10-k)Cj}
=(e^{-6})(3^{10-k})(2^{10-k})/(10-k)!
↓
P(X=k&X+Y+Z=10)
=P(X=k)Σ_{j=0～10-k}P(Y=j)P(Z=10-k-j)
=(e^{-4}4^k/k!)(e^{-6})(3^{10-k})(2^{10-k})/(10-k)!
=e^{-10}(4^k)(3^{10-k})(2^{10-k})/{k!(10-k)!}
=e^{-10}(2^{k+10})(3^{10-k})/{k!(10-k)!}
↓
P(X+Y+Z=10)
=Σ_{k=0～10}P(X=k&X+Y+Z=10)
=Σ_{k=0～10}P(X=k)Σ_{i=0～10-k}P(Y=i)P(Z=10-k-i)
=Σ_{k=0～10}e^{-10}(2^{k+10})(3^{10-k})/{k!(10-k)!}
=e^{-10}(2^{10})Σ_{k=0～10}(2^k)(3^{10-k})/{k!(10-k)!}
=(2/e)^{10}Σ_{k=0～10}(10Ck)(2^k)(3^{10-k})/10!
=(2/e)^{10}(5^10)/10!
=[(10/e)^{10}]/10!
↓
P(X=k|X+Y+Z=10)
=P(X=k&X+Y+Z=10)/P(X+Y+Z=10)
=(2^{k+10})(3^{10-k})10^{-10}10!/{k!(10-k)!}
=[10!/{k!(10-k)!}]{(2/5)^k}(3/5)^{10-k}
=(10Ck){(2/5)^k}[(3/5)^{10-k}]
∴
1日にその家庭にかかってくる電話の回数の合計がX+Y+Z=10であるとき,
固定電話の回数Xは
2項分布B(10,2/5)に従う

お礼

ありがとうございました。