難問です

質問

Ｎ個（Ｎ＞＝２）の箱の中に１回に１個ずつ無作為に玉を入れていく。玉が２つ入った箱ができたら、そこでその手続きを中止する。ちょうどｋ回目で玉が２つ入った箱ができる確率をＰ（Ｎ,ｋ）とする。
（１）２＜＝ｋ＜＝Ｎ＋１のとき、Ｐ（Ｎ,ｋ）を求めよ。
（２）lim(N→∞）1/N・logP(2N,N＋1)を区分求積法をもちいて求めよ。

回答No.2

yyssaa · ベストアンサー

（１）２＜＝ｋ＜＝Ｎ＋１のとき、Ｐ（Ｎ,ｋ）を求めよ。
＞組合せをC(m,n)、重複組合せをH(m,n)と書くと、
N個の箱に区別が出来ない(k-1)個の玉を入れる入れ方は全部で
H(N,k-1)通り。同じく1個ずつ入れる入れ方はC(N,k-1)通り。
よって、k-1回目までに玉が2個入った箱ができない確率は
C(N,k-1)/H(N,k-1)。k-1回目までに1個の玉が入った箱にk回目に
玉が入る確率は(k-1)/N。よって、丁度k回目に2個の玉が入った
箱ができる確率P(N,k)は
P(N,k)={C(N,k-1)/H(N,k-1)}*(k-1)/N
={C(N,k-1)/C(N+k-2,k-1)}*(k-1)/N
=(k-1)(N-1)!(N-1)!/(N-k+1)!(N+k-2)!・・・答
（２）lim(N→∞）1/N・logP(2N,N＋1)を区分求積法をもちいて求めよ。
＞（１）の答のNに2N、kにN+1を代入して
P(2N,N+1)=N(2N-1)!(2N-1)!/N!(3N-1)!
logP(2N,N+1)=logN+2log(2N-1)!-logN!-log(3N-1)!から
lim(N→∞)(1/N)*logP(2N,N＋1)=lim(N→∞)(1/N)*logN
+2lim(N→∞)(1/N)*log(2N-1)!-lim(N→∞)(1/N)*logN!
-lim(N→∞)(1/N)*log(3N-1)!
lim(N→∞)(1/N)*logN=0だから
lim(N→∞)(1/N)*logP(2N,N＋1)=2lim(N→∞)(1/N)*log(2N-1)!
-lim(N→∞)(1/N)*logN!-lim(N→∞)(1/N)*log(3N-1)!
ここで右辺第二項は
lim(N→∞)(1/N)*logN!=lim(N→∞)(1/N)*{logN+log(N-1)+・・・
・・・+log1}
=lim(N→∞)(1/N)*{logNN/N+log(N-1)N/N+・・・+logN/N}
=lim(N→∞)(1/N)*{NlogN+logN/N+log(N-1)/N+・・・+log1/N}
=lim(N→∞)logN+lim(N→∞)(1/N)*{logN/N+log(N-1)/N+・・・
・・・+log1/N}
=lim(N→∞)logN+∫[0→1]logxdx=lim(N→∞)logN
+{x(logx-1)}[0→1]=lim(N→∞)logN-1
右辺第一項を計算するために
lim(N→∞)(1/N)*log(2N)!
=lim(N→∞)(1/N)*log[(2N)(2N-1)(2N-2)・・・{2N-(N-1)}*N!]
=lim(N→∞)(1/N)*[log(2N)+log(2N-1)+log(2N-2)・・・
・・・+log{2N-(N-1)}+logN!]
=lim(N→∞)(1/N)*[log(2N)+log(2N-1)+log(2N-2)・・・
・・・+log{2N-(N-1)}]+lim(N→∞)(1/N)*logN!
=lim(N→∞)(1/N)*[logN(2-0/N)+logN(2-1/N)+logN(2-2/N)・・・
・・・+logN{2-(N-1)/N}]+lim(N→∞)(1/N)*logN!
=lim(N→∞)(1/N)*[NlogN+log(2-0/N)+log(2-1/N)+log(2-2/N)・・・
・・・+log{2-(N-1)/N}]+lim(N→∞)(1/N)*logN!
=lim(N→∞)logN+lim(N→∞)(1/N)*[log(2-0/N)+log(2-1/N)
+log(2-2/N)・・・+log{2-(N-1)/N}]+lim(N→∞)(1/N)*logN!
=lim(N→∞)logN+∫[0→1]log(2-x)dx+lim(N→∞)(1/N)*logN!
=lim(N→∞)logN+∫[1→2]logtdt+lim(N→∞)(1/N)*logN!
=lim(N→∞)logN+{x(logx-1)}[1→2]+lim(N→∞)(1/N)*logN!
=lim(N→∞)logN+2log2-1+lim(N→∞)logN-1
=2lim(N→∞)logN+2log2-2
この結果から右辺第一項の(1/2)は
lim(N→∞)(1/N)*log(2N-1)!=lim(N→∞)(1/N)*log(2N)!/(2N)
=lim(N→∞)(1/N)*log(2N)!-lim(N→∞)(1/N)*log(2N)
=lim(N→∞)(1/N)*log(2N)!
-lim(N→∞)(1/N)*log2-lim(N→∞)(1/N)*logN
=lim(N→∞)(1/N)*log(2N)!=2lim(N→∞)logN+2log2-2
よって右辺第一項は
2lim(N→∞)(1/N)*log(2N-1)!=4lim(N→∞)logN+4log2-4
同じく第三項を計算するために
lim(N→∞)(1/N)*log(3N)!
=lim(N→∞)(1/N)*log[(3N)(3N-1)(3N-2)・・・{3N-(N-1)}*(2N)!]
=lim(N→∞)(1/N)*[log(3N)+log(3N-1)+log(3N-2)・・・
・・・+log{3N-(N-1)}+log(2N)!]
=lim(N→∞)(1/N)*[log(3N)+log(3N-1)+log(3N-2)・・・
・・・+log{3N-(N-1)}]+lim(N→∞)(1/N)*log(2N)!
=lim(N→∞)(1/N)*[logN(3-0/N)+logN(3-1/N)+logN(3-2/N)・・・
・・・+logN{3-(N-1)/N}]+lim(N→∞)(1/N)*log(2N)!
=lim(N→∞)(1/N)*[NlogN+log(3-0/N)+log(3-1/N)+log(3-2/N)・・・
・・・+log{3-(N-1)/N}]+lim(N→∞)(1/N)*log(2N)!
=lim(N→∞)logN+lim(N→∞)(1/N)*[log(3-0/N)+log(3-1/N)
+log(3-2/N)・・・+log{3-(N-1)/N}]+lim(N→∞)(1/N)*log(2N)!
=lim(N→∞)logN+∫[0→1]log(3-x)dx+lim(N→∞)(1/N)*log(2N)!
=lim(N→∞)logN+∫[2→3]logtdt+lim(N→∞)(1/N)*log(2N)!
=lim(N→∞)logN+{x(logx-1)}[2→3]+lim(N→∞)(1/N)*log(2N)!
=lim(N→∞)logN+3log3-2log2-1+2lim(N→∞)logN+2log2-2
=3lim(N→∞)logN+3log3-3
よって右辺第三項は
lim(N→∞)(1/N)*log(3N-1)!=lim(N→∞)(1/N)*log(3N)!/3N
=lim(N→∞)(1/N)*log(3N)!-lim(N→∞)(1/N)*log3N
=lim(N→∞)(1/N)*log(3N)!-lim(N→∞)(1/N)*(log3+logN)
=lim(N→∞)(1/N)*log(3N)!-lim(N→∞)(1/N)*log3
-lim(N→∞)(1/N)*logN=lim(N→∞)(1/N)*log(3N)!
=3lim(N→∞)logN+3log3-3
以上から
lim(N→∞)(1/N)*logP(2N,N＋1)
=4lim(N→∞)logN+4log2-4-lim(N→∞)logN+1-3lim(N→∞)logN
-3log3+3=4log2-3log3=log2^4-log3^3=log(16/27)≒-0.52・・・答

回答No.3

MagicianKuma

No2さんへ＞
＞N個の箱に区別が出来ない(k-1)個の玉を入れる入れ方は全部でH(N,k-1)通り。
これをすべて同様に確からしいとするのはまずいのではないかい？
玉も区別して考えたほうが簡単なような気がするけど。

回答No.1

MagicianKuma

(2)ヒント
P(2N,N+1)=2N/2N * (2N-1)/2N * (2N-2)/2N * ・・・ * (2N-(N-1))/2N * N/2N
logP(2N,N+1)=log(2N/2N) + log((2N-1)/2N) + log((2N-2)/2N) + ・・・ + log(1/2)
順番を逆にして、logP(2N,N+1) = log(1/2)+log(1/2+1/2N)+log(1/2+2/2N)+log(1/2+3/2N)+・・・+log(1/2+(N-1)/2N)+log(1)
⊿x=1/2Nとおいて、Xi=1/2+i*⊿x i=0,1,2,・・・,N-1　とすると、
1/N * logP(2N,N+1)= 2 * ⊿x * (logX1 + logX2 +・・・+ logXN-1)
あとはこれを積分形に直せばよい。