連立方程式の途中式

質問

w1= 0.2w1 + 0.5w4
w2 = 0.8w1 + 0.5w4
w3 = 0.4w2 + 0.1w3
w4 = 0.6w2 + 0.9w3
w1 + w2 + w3 + w4 = 1

という式があります.
この連立方程式の途中式をお願いします.

回答No.3

178-tall

ランチ・アワーのお遊び？

w1= 0.2w1 + 0.5w4
　　↓ {w1, w4}
1.6w1 = w4　　　…(*4)
　　↓ {w1, w2}
w2 = 0.8w1 + 0.5w4
　 = 1.6w1　　　…(*2)
　　↓ {w1, w3}
w3 = 0.4w2 + 0.1w3
2.25w3 = w2 = 1.6w1
w3 = 1.6/2.25w1　　…(*3)
まで、{w2, w3, w4} は w1 の定数倍なのダ。

チェック。
w4 = 0.6w2 + 0.9w3
　 = (1.6*0.6 + 0.9*1.6/2.25)w1
　 = 1.6w1　　　OK …(**4)

w1+w2+w3+w4 = {1+1.6+(1.6/2.25)+1.6}w1 = 1
なので w1 を得る。
あとはバタバタ (*2, *3, *4) 。

回答No.2

info22_

式に番号をつけて

w1= 0.2w1 + 0.5w4 ...(1)
w2 = 0.8w1 + 0.5w4 ...(2)
w3 = 0.4w2 + 0.1w3 ...(3)
w4 = 0.6w2 + 0.9w3 ...(4)
w1 + w2 + w3 + w4 = 1 ...(5)

(A)変数の数は4,式の数は5つなので、式が5つ共一次独立なら解なし（解けません）。
(B)4つの式が一次独立、１つが従属なら解ける可能性があります。

(1)(2),(3),(5)を連立させて解くと
　w1=45/221,w2=72/221,w3=32/221,w4=72/221
解いて確かめて見て下さい。

この解を(4)に代入すると満たしますので、(4)は冗長（余分）ということになります。
上の(B)の解ける場合です。

回答No.1

asuncion

w1= 0.2w1 + 0.5w4 …… (1)
w2 = 0.8w1 + 0.5w4 …… (2)
w3 = 0.4w2 + 0.1w3 …… (3)
w4 = 0.6w2 + 0.9w3 …… (4)
w1 + w2 + w3 + w4 = 1 …… (5)

(2)-(1)より、w2 - w1 = 0.6w1
w2 = 1.6w1
5w2 = 8w1
w1 = 5w2/8 …… (6)

(3)より、0.9w3 = 0.4w2を(4)に代入
w4 = 0.6w2 + 0.4w2 = w2 …… (7)

同じく(3)より、0.9w3 = 0.4w2
9w3 = 4w2
w3 = 4w2/9 …… (8)

(6)(7)(8)を(5)に代入
5w2/8 + w2 + 4w2/9 + w2 = 1
(45 + 72 + 32 + 72)w2 = 72
221w2 = 72
w2 = 72/221 …… (9)

(9)を(6)に代入
w1 = 5w2/8 = 45/221
(9)を(7)に代入
w4 = w2 = 72/221
(9)を(8)に代入
w3 = 4w2/9 = 32/221