分数不等式について質問です

質問

(x+3)/x　≧　-2
の問題を
分母のxが正の時、負の時に場合分けして解いていく場合に
x<0の場合は両辺にx(<0)をかけて
x+3≦-2x
x+3+2x≦0
3x+3≦0
3(x+1)≦0
x+1≦0
x≦-1

と解いていくと参考書に書いてあるのですが
xが負の場合は、両辺にxをかけると、右辺は-2×負のxで+2xになると思うのですが
この場合はなぜならないのでしょうか？
よろしくお願いします

回答No.3

178-tall

>(x+3)/x≧-2

(x+3)/x ≧ -2 の両辺に x^2 を掛けてしまう手もあり。
非負の x^2 を掛ければ ≧ の反転を気にせずに進める、というわけです。

　(x+3)x ≧ -2x^2
　3x^2 + 3x = 3x*(x+1) ≧ 0

[-1, 0 ] にて左辺が負になる、とわかり易いケースなので…。

回答No.2

alice_44

-2 に -x を掛ければ、+2x になるが、
-2 に負の x を掛けたら、正の -2x になる。
x の中身が正でも負でも、
-2 に x を掛けることに違いはないから。

あるいは、負数を掛けることで不等号が反転
することを嫌って、x が負の場合には
両辺に -x を掛けるという手もある。

その方法では、(x+3)/x≧-2 は
x＜0 のとき、-(x+3)≧2x となる。
右辺は 2x となるが、左辺が -(x+3) であること、
不等号の向きが変わっていないことにも
注意して見る必要がある。
両辺に、正数 -x を掛けているからだ。

回答No.1

tsuyoshi2004

いやいや、大きな勘違いですよ。

仮にx=-2を代入すると、
-2x=-2(-2)=+4
ですよね？
-2xを2xにしてしまっては、
2(-2)=-4
になってしまいます。

参考までに、この問題でxが正の場合と負の場合で分けている理由は、
不等式において両辺に正の数をかけても不等式の向きは変わらないが、
負の数を両辺にかけると不等式の向き（大小）が変わるからです。
例：
2<4
両辺に2をかけても、
4<8
ですが、両辺に-2をかけると、
-4>-8
で不等号が入れ替わります。
同様に、
-2>-4
に２をかけても、
-4>-8
ですが、-2をかけると、
4<8
となります。