線形代数の問題

質問

テスト前の最後の講義で

「2次曲線x^2+hxy+y^2-5x-7y+6=0を標準形に変換し、どんな曲線を表すかを述べよ」

という問題をやったのですが、講師が説明もしないまま講義が終わってしまいました。
友達に聞いたところ、場合分けをすればいいと言われたのですがよくわかりません。

この問題の解き方を教えて下さい。
お願いします。

回答No.1

springside · ベストアンサー

(1)h≠2のとき
曲線をx軸方向にa、y軸方向にb平行移動すると、
(x-a)^2+h(x-a)(y-b)+(y-b)^2-5(x-a)-7(y-b)+6=0・・・※１
となる。
xの係数=-2a-hb-5=0
yの係数=-ha-2b-7=0
を解くと、
a=(-7h+10)/(h^2-4)
b=(-5h+14)/(h^2-4)
となる。（注：標準化するのに邪魔なxとyを消してしまおうという発想です）
このaとbを※１に代入して整理すると、
x^2+hxy+y^2=-(3h-10)(2h-5)/(h^2-4)・・・※２
となる。（この計算は結構大変です）
左辺をx、yに関する２次形式と見ると、係数行列Aは、

　　1　　h/2
A=
　　h/2　　1

となり、行列Aの固有値及び対応する固有ベクトルは、
固有値=1+h/2、固有ベクトル=(1,1)
固有値=1-h/2、固有ベクトル=(1,-1)
となるから、直交行列U

　　√2/2　　√2/2
U=
　　√2/2　　-√2/2

によってAは対角化され、

　　　　　　　1+h/2　　0
U^(-1)AU=
　　　　　　　　0　　1-h/2

となる。

よって、※２は、以下の標準形に直すことができる。

(1+h/2)x^2+(1-h/2)y^2=-(3h-10)(2h-5)/(h^2-4)

ここまでくれば、大丈夫だと思います。後は、x^2、y^2、右辺の値と符号によって（つまり、hの値の範囲によって）円、楕円、双曲線になります。

(2)h=±2のとき
計算は省略しますが、曲線を原点を中心として４５°回転させれば、放物線になることがわかります。

お礼

ありがとうございました！大変よく分かりました！
テストまで後１０時間ほどですが頑張ります！