行列Aのn乗

質問

行列Aのn乗の求め方を教えてください。
A=
[0,-1,-1]
[-1,0,-1]
[-1,-1,0]

回答No.2

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk） · ベストアンサー

A=
[0,-1,-1]
[-1,0,-1]
[-1,-1,0]
=
[1,0,0] [1,1,1]
[0,1,0] - [1,1,1]
[0,0,1] [1,1,1]
=I-Xとおく。
A^2=I^2-2IX+X^2=I-2X+3X=I+X
A^3=(I+X)(I-X)=I-3X
A^4=(I+X)^2=I+2X+3X=I+5X
A^5=(I+X)(I-3X)=I-2X-3X^2=I-11X
A^6=(I-3X)^2=I-6X+9X^2=I+21X
…

Xの係数を数列にすると、a_n={-1,1,-3,5,-11,21,…}となり、階差をとるとb_n={2,-4,8,-16,32,…}となり、b_n=(-2)^nで規則的である。
一般項を表すためには、a_n=a_1+Σ_[i=1～n-1] b_i=-1+(2-(-1)(-2)^n)/(1-(-2))=-1+(2+(-2)^n)/3である。
従って、
A^n=I+(-1+(2+(-2)^n)/3)Xとなる。

お礼

分かりました。回答ありがとうございました。

回答No.1

tatter

ジョルダン標準形について学んでみてはどうですか？
ジョルダン標準形が分かれば解けると思います。

お礼

分かりました。勉強してみます。