ランダムな分散が形成する分布

質問

種子を飛ばして繁殖する植物を考えます。

毎世代の繁殖数をfとして、確率関数p(x)で１次軸上に種子を飛ばすとします。
原点の１株から初めて、一定世代後に子孫がx軸上にどのように分布
するかを知りたいです。

分布の確率関数p(x)は正規分布か一定範囲内での一様分布を考えています。
どのように考えればよいでしょうか。考え方だけでもよいので
何かアドバイスいただければと思います。

回答No.3

noname#227064 · ベストアンサー

ANo.1補足
> ある１株のｎ世代後の原点からの距離の期待値と
> ｎ世代後の株全体の分布の期待値は違うということでしょうか。

n世代後の株はどれも同じ分布なのだから、全体も同じになります。
勿論、最初の一株から初めてn世代後の子孫の分布がどうなるかを一回だけ実施した場合は、

> 最初の数世代で分布が偏ってしまったら
> もうそのずれは修正しようがない

ので、理論分布からは離れたものになることもあるでしょう。
しかし、回数を繰り返すとか最初に多くの株を原点において実施すれば理論に近い分布になるでしょう。
（同じ点に複数の株がおけるかどうかは別にしてですが）
サイコロだって６回振れば１から６の目が必ずすべてでるわけではありませんが、多数回振れば大体どの目も同じ回数出てくることでしょう。

#2さん
> Σ_1^n X_i　は　　Σ_{i=1}^n X_i つまり　X_1 + X_2 + .... + X_n の　ことですよね？　（多分、TeXの表記）

ご指摘の通りで、書き間違えてしまいました。

回答No.2

eclipse2maven

>#1

quaestio さん　お久しぶりです。

#1で
＞第n世代のある株の原点からの距離はΣ_1^n X_iですので...

と書かれてますが、確認なんですが

Σ_1^n X_i　は　　Σ_{i=1}^n X_i つまり　X_1 + X_2 + .... + X_n の　ことですよね？　（多分、TeXの表記）

一瞬、迷ったので、聞いてみました。

回答No.1

noname#227064

原点の一株を第0世代として、以降第1世代、第2世代、…として、最後の第n世代の分布が知りたいとします。

第n世代のある株に注目すると、その祖先の第(i-1)世代が第i世代の種子を飛ばした距離をX_iとします。
このとき、各X_iは互いに独立で同一な分布に従います。
ここで、X_iの平均をμ、分散をσ^2とおきます。

第n世代のある株の原点からの距離はΣ_1^n X_iですので、その期待値はnμ、分散はnσ^2であることは容易にわかります。
また、nがある程度大きければ、中心極限定理によりその分布は正規分布で近似できます。
p(x)を正規分布とする場合は、厳密に正規分布に従います。

第n世代の他の株についても同様の分布に従います。
しかし、それぞれの株は独立な分布とは限りません。
祖先の第1世代が異なるのであれば独立となります。

お礼

すいません。補足の内容がわかりにくかったので加筆です

つまりいま想定しているようなモデルでは、
一定世代後に系がある分布に収まるということはないという
ことになるのでしょうか。

直感的にも最初の数世代で分布が偏ってしまったら
もうそのずれは修正しようがないことが分かりますので
（各世代が、それ以前の影響を受けない）

補足

回答ありがとうございます。

>第n世代の他の株についても同様の分布に従います。
>しかし、それぞれの株は独立な分布とは限りません。
>祖先の第1世代が異なるのであれば独立となります。

この部分がまだよく理解できていません。

ある１株のｎ世代後の原点からの距離の期待値と
ｎ世代後の株全体の分布の期待値は違うということでしょうか。

前者が正規分布に近づくというのはわかりましたが、
知りたいことは後者なんです