誤差の計算

質問

こんばんは．
学校の先生に，
ε＝Σ(i=1～N)(A[i]-A'[i])^2
という式で誤差を計算しろと言われたのですが，これって何誤差になるんですか？そもそも2乗している理由が分かりません．これはどんな場合に使う式なのか教えてください．

回答No.4

sanori · ベストアンサー

＞ε＝Σ(i=1～N)(A[i]-A'[i])^2
＞上式で相対誤差を求めるとしたら
＞ε＝Σ(i=1～N){(A[i]-A'[i])/A[i]}^2
＞となるのでしょうか？

そのとおり。なるはずです！

ただし、「相対誤差」という言葉は私は知りません。
要するに、誤差を無次元にする、つまりはパーセンテージみたいに表すということですよね？

分母をA[i]とされていますが、A'[i]としてもよいです。
計算結果は異なりますが、要は、どちらかで定義しておけばいいんです。

ただし、これを「相対誤差」と呼ぶには条件があります。
それは、差(A[i]-A'[i])が、A[i]やA'[i]よりも「十分小さい」数であること、および、A[i]やA'[i]が常に正の数であることです。

「十分小さい」という言葉が、「どれだけ小さい」ことを指すのかは、特に定義はないと思いますが、差を分母で割り算しておおむね０．１（＝１０％）ぐらいになってくると、かなりよろしくない、０．０１（＝１％）ぐらいを下回ると、結構よろしい、ぐらいの感じでしょうか。私の経験からの勘です。

追伸
A[i]やA'[i]がお互いに、数倍になったり数分の１になったりというように、双方お互いに同じ割合ぐらいで、ものすごく大きく動く数値だったりする場合だと、ご提起の「相対誤差」が統計手法として必須になってくるかもしれませんね。
（もちろん、「相対誤差」が使えるのは、このケースに限りません）

お礼

再度ご回答ありがとございます．
とても勉強になりました．

回答No.3

kony0

x[i]を入力値
A[i]を測定値
未知の関数：A'[・]=m*x[・]+n
として、εを最小にするm,nを（偏微分で）求めると、まさに最小二乗法として有名な、回帰直線の式が求められます。（大学１年生くらいの物理学実験とかで、必ず触れている内容と思います。）

ニューラルネットワークの学習機能なんかでも、入力値に対する「望ましい」出力値をA'[i]（教師信号といいます）、「ネットワークからの実際の」出力値をA[i]をして、上記のεを小さく（最適化）するようニューロンどおしの重み（係数のようなもの）を算出していくことで「学習」していきます。

・・・「平均二乗誤差」と絡むのかなぁ。質問者さんのいうA[i]とA'[i]とは何ぞや？というのがちょっとわかりかねますが。

お礼

ご回答ありがとうございました．

回答No.2

sanori

まず、「２乗」の理由について。

１個１個のデータの平均からの誤差（という言葉が専門的に正しいかどうかは知りませんが）には、プラス方向の誤差とマイナス方向の誤差がある場合が多いので、個々の誤差を単純に合計すると、誤差合計はゼロになってしまうケースは非常に多いです。
ですから、個々の誤差を２乗することは統計学の常套手段です。

以下、あくまでも予想なのですが、

「分散」を求めるには、
Σ（[個々のデータ]i － [平均値]）÷Ｎ
という計算をしますね。

ところが、ご質問文の式では、
「平均値」のところが、定数ではなくｉの関数みたいになっています。

ということは、個々のデータに対して比べられる基準値が１回１回異なるということなのでは？

私がイメージするのは、例えば、クレー射撃。
ダーツの的が飛んでいて、それをピストルで撃ちます。
そうすると、射撃の１回１回の誤差は、ピストルの弾が当たった場所の座標から、その時の的の場所の座標を引き算しないといけません。
（的の中央を基準＝座標の原点にできれば、こういう話にはなりませんが）

あと、もう一つ思いつく例としては、
１個１個の釘の長さを１回ずつだけ測定する場合。
単純に個々の測定データだけを統計すると、釘の長さと測定誤差をひっくるめた分散とか標準偏差が出てきます。
しかし、（あまりこういうことはやりませんが）、１個１個の釘の真の長さは他の非常に精密な測定方法で既知であるとしましょう。
そうすると、１つの測定データから１つの精密データを引き算したものの２乗を加算していけば、測定誤差だけの統計をしたことになります。

あまり良い例が思い浮かびませんでしたが、先生から出された課題は、なんか似ていませんか？

補足

ご回答ありがとうございます．
とてもわかりやすい説明でした．

＞ということは、個々のデータに対して比べられる基準値が１回１回異なるということなのでは？
申されているとおり1回1回比較するデータが異なります．

追加の質問で申し訳ないのです．
No.1さんの補足に書いたことと同様なんですが，

ε＝Σ(i=1～N)(A[i]-A'[i])^2
上式で相対誤差を求めるとしたら
ε＝Σ(i=1～N){(A[i]-A'[i])/A[i]}^2
となるのでしょうか？
それとも上の式では相対誤差は存在しないのでしょうか？
お手数ですがよろしくお願いします．

回答No.1

yungflu

たとえば、100ｍｌの水を計るとします。
この時A'[i]＝100です。
しかし、実際に計ると、100ｍｌきっちりと計るのは不可能です。この時必ず誤差が生じます。
その誤差は、多すぎる誤差と少なすぎる誤差の2通りありますよね。これを単純に合計したら、誤差同士が相殺してしまいます。
　例）　99.9991mlと100.0009mlの誤差を合計すると、誤差が0になってしまう。（そんなことはないですよね）
だから、２乗するのです。２乗すると必ず正の数になるから。

補足

ご回答ありがとうございます．
とてもわかりやすい説明でした．
申し訳ないですがもう1つ質問してもよいでしょうか．

ε＝Σ(i=1～N)(A[i]-A'[i])^2
この式で相対誤差を求めるとしたら
ε＝Σ(i=1～N){(A[i]-A'[i])/A[i]}^2
となるのでしょうか？
それとも上の式では相対誤差は求められないのでしょうか？
お手数ですがよろしくお願いします．