大学数学でわからない問題があります。

質問

数学でわからない問題があります。解説をお願いしたいです。

以下を示せ。（E^(-1) を対数関数という。）

{E(yz)}^(-1) = {E(y)}^(-1) + {E(z)}^(-1) , {E(1/y)}^(-1) = － {E(y)}^(-1)

よろしくお願いします。

回答No.5

alice_44 · ベストアンサー

E の定義は E(x) = lim[n→∞] En(x) だとして、
まず、右辺のベキ級数の収束半径が ∞ であること
を示すことからでしょうか。
べき級数は、収束円内で広義一様絶対収束します。

絶対収束する級数は、項の並び順を変えても、
部分級数の極限を先にとってしまっても、極限の
値が変わりません。この性質より、
(lim[n→∞] En(t))(lim[n→∞] En(s)) = lim[n→∞] (En(t)En(s))
であることが言えます。後は、
lim[n→∞] (En(t)En(s)) = lim[n→∞] En(t+s)
であることを、展開した式の係数を比較して示せば、
結局 E(t)E(s) = E(t+s)　…[*1] が言えたことになります。

[*1] に s = -t を代入すれば、E(t)E(-t) = E(0) = 1
より E(-t) = 1/E(t)　…[*2] となります。
E(0) = lim[n→∞] En(0) = lim[n→∞] 1 = 1 の計算は
自明ですね？

また、一様収束する関数列は、項別に微分することが
可能なので、(d/dx) E(x) = Σ[j=0…∞] (d/dx)(1/j!)x^j
= Σ[j=1…∞] (1/(j-1)!)x^(j-1) = E(x)　…[*3] です。
E(x) = Σ[j=0…∞] (d/dx)(1/j!)x^j は、x>0 で各項が正、
x<0 のときは、[*2] より E(x) = 1/E(-x) > 0 ですから、
任意の x で E(x)>0 です。
従って、[*3] より E(x) は単調増加なので、逆関数を持ちます。

ここまでが、A No.2 補足にある「前問」。これを使って…

y = E(t), z = E(s) と置けば、[*1] 式は
yz = E(E^(-1)(y) + E^(-1)(z)) と書けて、
これの両辺を E^(-1) へ代入すると
E^(-1)(yz) = E^(-1)(y) + E^(-1)(z)　…[*4] となります。

[*4] に z = 1/y を代入すれば、E^(-1)(y) + E^(-1)(1/y) = E^(-1)(1) = 0
より E^(-1)(1/y) = -E^(-1)(y) です。

ポイントは、ほぼ [*1] だけですね。

お礼

大変わかりやすい解説ありがとうございます！！
理解できました！！

回答No.4

alice_44

A No.2 補足の「前問」が解決済みであれば、
(2)から E の逆関数の存在が言えて、
y=E(t), z=E(s) と置けば、(1)のひとつめの式が
質問のひとつめの式になる。
更に、z=1/y と置けば、E(0)=1 から
質問のふたつめの式になる。

補足

すみません、ちょっと理解できないので、もう少し詳しく解説していただけないでしょうか・・・？(特に、E(0)=1 はなぜ必要なのでしょうか・・・？(お願いします。

回答No.3

uyama33

E(t)=lim(n→∞)(E(n)(t))

なんて書いてありませんか？

これがあれば普通の指数関数。

補足

書かれていないですが、教授が「難しくしたつもりはないです。」とおっしゃられていたので、普通の指数関数として扱うのだと思われます。

回答No.2

Tacosan

つまり, 「E[n] は定義されているけど E は未定義」ということ?

補足

Eについては特に記載されていないです・・・。

ただ前問で、

(1) E(t+s) = E(t)E(s) を用いて以下を示せ。

　　すべてのt∈Rに対して　E(-t)＝1/E(t), E(t)>0

(2) E(t):R→(0,∞)は全単射写像であることを示せ。

という問いがあります。

回答No.1

alice_44

その文脈での、指数関数 E の定義に沿って証明する必要があります。
問題に先だって E をどのように導入していたか、補足に書いて下さい。

また、式中の
{E(yz)}^(-1), {E(y)}^(-1), {E(z)}^(-1), {E(1/y)}^(-1), {E(y)}^(-1)
は、それぞれ
(E^(-1))(yz), (E^(-1))(y), (E^(-1))(z), (E^(-1))(1/y), (E^(-1))(y)
でなくては変ですが？

補足

説明不足ですみません！

E は

E[n](t) := Σ{j= 0 to n} (1/j!)t^j , t∈R , n=1,2,3,・・・

と書かれてあります。

後半の表記についても、解答者様が訂正してくださった方向が正しいと思います。