代数学の問題

質問

x≡10(mod23)かつ x≡3(mod17)を満たす整数xをすべて求めたいです。よろしくお願いします。

回答No.2

kup3kup3 · ベストアンサー

こんにちは。
x≡10(mod23)　から　x=23m＋10　・・・(1)　ここにmは整数。これを
x≡3(mod17)に代入して　23m＋10≡3(mod17)　よって17m＋6m＝－7(mod17)
⇔6m＝10(mod17)・・・(2)　2(3m－5)≡0(mod17）2と17とは互いに素で
あるから　3m－5≡0(mod17）両辺を6倍して　18m－30≡0(mod17)⇔18m－13≡0(mod17)
18m=17m＋mだから　これは　m≡13(mod17)と同値となる。ゆえに　m＝17k＋13　・・・(2)
ここにkは整数。　(2)を(1)に代入して　
x＝23×(17k＋13)＋10＝23×17k＋23×13＋10＝23×17k＋309　ここで23×17＝391
よって　求めるxは　x＝23×17k＋309　ここにkは整数。合同式で書けば
x≡309　(mod　23×17)　（答え)
なお　309＝23×13＋10，309=17×18＋3より309≡10(mod23),309＝3(9mod17)
となっている。
こういう問題の一般解法には「中国の剰余定理」（Chinese　Remainder　Theorem )
がある。調べてみてください。
23と17のように互いに素な場合には連立方程式の解は　mod　23×17で一意的に
求まることが知られている。

お礼

丁寧に説明してくださってどうもありがとうございました。とても助かりました。またどうぞよろしくお願い致します。

回答No.1

Tacosan

全通り試せば?