階乗

質問

少数の階乗の計算方法を教えてください。

回答No.9

HOGERA3

No.7です。
＞HOGERA3 さんのご回答は階乗でなくてベキ乗についての話ですね．

おっしゃるとおりにございます。

間違ったことを載せてしまって申し訳ございません。
見なかったことにしてください。

回答No.8

siegmund

普通に考えるなら，catamaran さんと FM-8 さんのご指摘のようにガンマ関数でしょう．

任意の複素数 z に対して
(1)　　Γ(z)=∫{0～∞} x^(z-1) e^(-x) dx　　　Re(z)>0
を解析接続して得られる関数がガンマ関数です．
FM-8 さんは積分範囲を －∞～∞ とされていますが，
上の 0～∞ が正しい範囲です．
上の積分は z の実数部 Re(z) が正の時しか収束しませんので，
そうでない z に対してはときは適当な手段で拡張する必要があり
それが解析接続です．

(2)　　Γ(1) = 1
(3)　　Γ(z+1) = zΓ(z)
を簡単に示すことができますので，自然数 n に対しては
(4)　　Γ(n+1) = n!
ということになります．
階乗とは n が１つだけずれています(FM-8 さんの「モドキ」)．
多少古いドイツ流の本では
(5)　　Π(z) = Γ(z+1)
というパイ関数を見ることもあります．
これを使うなら
(6)　　Π(n) = n!
ということになります．

z がゼロまたは負の整数のときにはΓ(z)は極になっています
(つまり，値は＋∞あるいは－∞)．

スターリングの公式
(7)　　Γ(z) ～ √(2π) e^(-z) z^[z-(1/2)]
は |z| が大きいときの近似式(漸近式)です(z≠負の実数)．

具体的に小数の階乗あるいはΓ関数を計算するなら
catamaran さん方式がよろしいでしょう．

HOGERA3 さんのご回答は階乗でなくてベキ乗についての話ですね．

回答No.7

HOGERA3

「少数の階乗」って「３の１．５乗」とかのことですか？
（「少数」じゃなくて「小数」？）

だとしたら、
3^1.5 = 3^(3/2) = （３の２乗根）の３乗
というように小数を分数に直して計算します。

a^(1/n) = aのn乗根

です。

回答No.6

FM-8

#5様ご指摘の通りです．

「階乗」自体は0以上の整数に対して定義されていて，
0!=1です．
小数に対しては，Γ関数ですかね．やはり．

階乗を実数に拡張したようなものが「ガンマ(Γ)関数です．」

Γ(λ)=∫(x^(λ-1)) * e^(-x)dx[-∞～∞]

なぜこれが「階乗」かというと,
n!=n*(n-1)!　　ですよね？

Γ関数の場合，
定義より，
Γ(λ)=(λ-1)Γ(λ-1)
となるからです．(モドキです．)

スターリングの公式は，非常に大きな自然数の階乗を
求めるときの近似式です．
小数にも適用出来るんですかねぇ？使えるとしたら，「卓見」です．
もしも，もう少し，お時間いただければ，「スターリングの公式」の証明をアップ出来ますが．(面白かったんですよ．当時はこの証明が．統計力学の授業だったと思いますが．)

高校の数学思い出しました．
ご質問の背景教えてもらえませんか？
そっちの方が楽しそうなので．

参考URL：

http://www12.plala.or.jp/ksp/formula/mathFormula/html/node67.html

回答No.5

catamaran

こんにちは．
階乗の一般化された形は，ガンマ関数です．
ガンマ関数では，階乗は正の実数（小数を含む）まで定義されるみたいです．
なお，ガンマ関数はExcelの関数機能にて計算することができるので，実用上必要ならばこちらを使われてはいかがでしょうか．
ガンマ関数については，以下を参照ください（英語ですが・・・）．
http://mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html

参考URL：

http://aoki2.si.gunma-u.ac.jp/lecture/Bunpu/gamma-function.html

回答No.4

teo98

＃１です。
スターリングの近似式は、０以上で大きな実数の階乗の近似計算には有効ですが、０以上の小さな実数の階乗計算には数学的な意味を持ちません。

回答No.3

arukamun

階乗の概念は自然数（例外として０もあり）にしか定義されていません。
小数や負の数は計算できないという事です。

どうしても計算しなくてはいけないのであれば、
スターリングの公式で近似値を求められるので、
n! ～ √(2nπ) × n^n × e^(-n)
に代入するという事で求められるかもしれません。
但し、近似値ですのであしからず。

回答No.2

tarotokyojp

nの階乗の近似式を使ってはいかがでしょうか。
n! の桁数は スターリングの近似式
n! = nne-n (2nπ)1/2より、
n log10(n/e) + (log10(2nπ)/2+1
で求められます。

参考URL：

http://alfin.mine.utsunomiya-u.ac.jp/~niy/algo/f/factorial.html

回答No.1

teo98

階乗とは、０以上の整数で定義されている筈です。質問の意味は、小数点以下を含む０以上の実数の階乗との意味でしょうか？