物理I 力積の問題

質問

お世話になっております。物理I、力積に関する問題についての質問です。

問「硬い床の上に落としたコップは割れやすいが、床の上に敷いた厚い布団の上に落としたときは割れにくい。これは何故か」という基本問題です。
自分なりに考えてみました。変な点、足りない点などありましたら、御指摘下さい。

コップの質量をm、重力加速度をgとすると、コップが落下して別の物体に衝突するときに、コップが相手に与える力はmg[N]、同時に反作用からコップは相手からmgの力を受ける。

硬い床に対して、厚い布団に落ちるときは、この反作用によりコップに力mgが加わる時間はコップが布団に触れてから沈み込むまでの間であるため、硬い床に比べて力積が大きくなるためである。

という感じです。せっかく文字を提示したのに式で最後まで説明仕切れていないのが無駄になってる気がしますが、回答を待ちたいと思います。宜しくお願い致します。

回答No.1

Quarks · ベストアンサー

コップが壊れるか壊れないかを直接決めるのは、コップが受ける"力の大きさ"だと考えた方が良いと思います。

コップが、自由落下して、高さｈ[m]落ちたとき、その速さｖは　√(2gh)　になっています。コップの質量がｍ[kg]なら、運動量Ｐは、Ｐ＝ｍｖ＝ｍ・√(2gh)　になっているわけです。
問題は、このコップの運動量がこの後どのように変化するかです。硬い床に当たった場合、ごく短い時間ｔ[s]で急激に止められ、柔らかい布団に当たった場合は、それなりの時間Ｔ[s]掛けて止められることになります。
何れの場合でも、コップの速さが０になった時点で、運動量は　Ｐ'=ｍ・０＝０　となります。
さて、
　運動量の変化＝力積（＝受けていた力×力を受けていた時間）
という関係が成り立っていますから、硬い床から受けた力をＦ、布団から受けた力をｆとすると
　Ｐ－Ｐ'＝Ｆ・ｔ
　Ｐ－Ｐ'＝ｆ・Ｔ
となります。左辺は同じですから、Ｔ＞ｔ　なら　Ｆ＞ｆ　となっているはずです。
つまり、硬い床に当たったときは、急激に速度が変化するので、極めて大きな力が作用することになり、コップは破壊される。布団に当たった場合は、ゆっくり速度が変化するので、受ける力は比較的に小さく、コップは破壊を免れることになります。

或いは、単位時間当たりの速度変化＝加速度　で考えることもできます。
同じ速度変化（√(2gh)　→　０）でも、その変化に要する時間が異なるので、急激に変化した場合は"加速度が極めて大きく"、緩やかな変化をした場合は"加速度は小さい"ということです。
運動方程式　ｍα＝Ｆ　から、質量ｍのコップが受ける力は、加速度αに依存することがわかります。αが大きい（硬い床に当たった）ときの方が、力Ｆが大きく、コップは大きな力を受けて破壊されます。

このように、
２つの場合で、コップが受ける"力"は異なるようです。
どちらの場合も、"運動量の変化"は　ｍ・√(2gh)　→　０　で、同じです。しかし運動量の変化に要した時間は格段に異なるようです。

補足
>コップが落下して別の物体に衝突するときに、コップが相手に与える力はmg[N]、
>同時に反作用からコップは相手からmgの力を受ける。

ｍｇは重力で、地球からコップが受けている力です。この大きさの力を床や布団に加えているとは限りません。
手で支えるときに、手が支える力はｍｇですが、そうなる理由は、重力と"釣り合っている"からです。
今の場合は、釣り合いの関係は成り立っていませんから、重力（重さ）と床面からの力とが等しい保証はありません。

お礼

唸ってしまいました。流石です。

もっと努力しようと思います。ご回答ありがとうございました。