数学の常微分の応用問題教えてください！

質問

ある劇場で、入場料が1000円である時の観客数が平均4000人で、入場料をx割上げると観客数はx/2 割減るという。 最大収入を得るための入場料と収入額を求めよ。

という問題で、答えが1500円、4500000円なんですけど、

これを微分を使わないで解く方法を教えてください。

回答No.1

ferien · ベストアンサー

＞ある劇場で、入場料が1000円である時の観客数が平均4000人で、
＞入場料をx割上げると観客数はx/2 割減るという。 最大収入を得るための入場料と収入額を求めよ。

＞これを微分を使わないで解く方法を教えてください。
２次式の平方完成により求めます。

ｘ割＝ｘ／１０，ｘ／２割＝（ｘ／２）×(1/10)＝ｘ／２０
入場料をx割上げると、１０００×（１＋x/10）円
観客数はx/2 割減る　４０００×（１－x/20）人
収入額＝１０００×（１＋x/10）×４０００×（１－x/20）
＝１００×（１０＋ｘ）×２００×（２０－ｘ）
＝２００００×（－ｘ^2＋１０ｘ＋２００）
＝－２００００（ｘ^2－１０ｘ＋２５）＋２５×２００００＋２００×２００００
＝－２００００（ｘ－５）^2＋４５０００００
ｘ＝５のとき、収入額の最大値4500000円
そのときの入場料＝1000×（１＋5/10）＝1500円

どうでしょうか？