データを微視的にみると角速度がもとまらなくなります

質問

こんにちは、ある動く物体を撮影してその軌跡を解析することを行いたいと思います。特に角速度や角加速度を求めるのに困っています。

巨視的にはスムーズに見える軌跡が、微視的にみて多数のデータ点の集まりと考えると、角度の変化が劇的に変わっているようになってしまいます。

添付の図をご覧下さい。例えば、ハエを上面から撮影して、緑の点線の軌跡を描くとします（右に旋回しています）。このときの角速度、角加速度の変化がどのようであるかを知りたく、単位時間ごと（例えば一ミリ秒）にハエの位置を得たとして、それが青色の点であるとします。単位時間を絞れば絞る程、微視的にデータがばらつき、緑の線を沿ってはいるものの、ジグザグの軌跡を微視的に描くことになります。すると、単位時間ごとに角度変化を追うと、角度変化は大きく揺れており、角速度もプラスマイナスに大きくふれるようになってしまいます。

こういった場合、どのようにして解析するのでしょうか。

どうかお教え下さい。
よろしくお願いします。

回答No.3

tance · ベストアンサー

ANO.2です。

近似を考えるということは、原始データのジグザグはノイズ（不要なもの）ということですね。
ということは、元の情報(X3, Y3, t3)や(x4, Y4, t4)など自体が誤りを含んでいるということです。

近似という作業自体が、XもYもtも、いわば曖昧にする作業です。そう考えると、近似後の
厳密なtを知ろうとすること自体が近似を否定することになります。

つまり、元データのtにおいて、原始データ(X, Y)が近似データ(x, y)に置き換えられると考えて良いと
思います。

もし、近似による誤差（不確かさ）を厳密に評価するのであれば、もっと別な考察が
必要かもしれません。（もとデータのジグザグはノイズではないという考え方。XとYを
時間関数と考えて、フーリエ変換で周波数関数に変換し、帯域を制限した後に
逆フーリエ変換して得られる時間関数（X, t),　（Y, t)を近似後のデータと考える、など）

お礼

tance様、ご返答下さりありがとう御座います。このように対話して下さることで、じわじわと理解が深まりとても助かります。重ねてお礼申し上げます。
『原始データ(X, Y)が近似データ(x, y)に置き換える』点についてもう一点お伺いさせて下さい。近似曲線がy = f(x)と求まったとした場合、原始データ(X, Y, t)に対応する近似データ(x, y, t)を探すには、X= x, y = f(X)と考えればよいのでしょうか。つまり、当該の原始データに対応する近似データは(X, f(X), t)でしょうか。この場合、原始データのYは考慮されていないということになりますが、いかがでしょうか。宜しくお願いします。

回答No.6

tance

ANo.2です。

気になったので、適当な原始データを作ってグラフ化してみました。

X, Yともにノイズを加えると、Xの後戻り現象（Xが途中で単調増加しなくなる）が出てしまうので、
Xにはほとんどノイズを加えていません。

このようにして作ったジグザグデータを、X, Yともにtの関数として４次で近似し、元データと
近似したもの同士で作ったｘ、ｙグラフをエクセルで出してみました。

図が小さくて見にくいかもしれませんが、結果は近似としては良さそうです。

お礼

tance様、デモまでして頂きありがとう御座います。
どのような計算方法で近似式を得るのか（具体的にエクセルが行っている計算式）、何次の式で近似するのか、など色々と勉強しなければならいことと思います。もしお勧めの参考書、教科書などを具体的にご紹介頂けますと今後の私の勉強にとても助かります。参考書を選ぶ際のキーワードなどヒントを頂くだけでもとても幸いです。

重ね重ねお礼申し上げます。

回答No.5

tance

ANo.2です。

前回の回答は一つのアイデアです。こうしなくてはならない、といったことではありません。要求に応じて適した方式を考える必要があると思います。　

まずは、エクセル等で実際の原始データと近似を、時間関数グラフとして描き、それを元にX,Y平面のグラフにして、近似の具合を確認してみてください。　求めるものと違うようでしたら、何か別なことを考えなくてはなりません。

お礼

tance様、回答、というかご指導下さりありがとう御座いました。
再び質問させて頂くこともあるかと思いますが、どうかよろしくお願い致します。

重ねましてありがとう御座いました。

回答No.4

tance

ANo.2です。

XとYに共通なのはtですから、ｘ = f(t), y = g(t) と考えるのが妥当ではないでしょうか。

元データを X = F(t), Y = G(t) とすれば、X-Yのグラフは (F(t), G(t)) で、同じ形になるはずです。
F（ｔ）とG(t)を近似でまるめて f(t), g(t) とするわけです。近似後のデータ対は (f(t), g(t)) です。

他にも方法はあるかもしれませんが、今思いつくのは以上です。

お礼

tance様、重ね重ねご回答下さいまして本当にありがとう御座います。
なるほぢ、(X, T), (Y, T)についても近似曲線を得て、f(t), g(t)。
(X, Y)の近似曲線を別途求めたものが、y = h(x)とすると、y= g(t) = h(f(t))となるものなのですか。近似曲線の求め方が私にとってまだブラックボックスなので、分かりませんでした（勉強します）。以上の点について、この時点で、間違っておりましたらご指摘頂けますと、幸いです。よろしくお願いします。

回答No.2

tance

求めたいものが何かによってやり方は変わってきます。また、微視的に見たときのジグザグは本当にジグザグなのか、測定系のランダムノイズなのかを検証しなくてはなりません。

本当にハエがジグザグに飛んでいて、その正確な奇跡を知りたいのであれば、向きを急変する大きな角加速度が真実です。むしろ、滑らかにカーブする角加速度は分解能が悪い測定と言えます。

逆に、本当は緩やかに動いていたにもかかわらず、測定系の誤差等によりジグザグに見えているだけなのであれば、近似や移動平均などにより「滑らかにする」という作業が必要になります。

もうひとつ、サンプリング定理というものに注意が必要です。例えば1ms間隔で位置データを取った場合を考えます。そして、実際の動きはもっと速く、0.1msくらいの間隔で向きを変えていたとします。そうすると、1msおきに取ったデータはたまたまそのタイミングでの位置にすぎず、その前の位置からの方向を正しく表していないことになります。（偽りの情報が取れる）

これを避けるために、実際の動きに含まれる最高の周波数成分の倍以上の頻度でデータを取るようにします。こうすれば偽情報を防げます。このあたりはとんでもなく端折った説明なので、別途調べてみてください。

ジグザグのデータにしても、粗く取ると角に円弧がなく、角速度や角加速度が無限大になってしまうでしょう。これもサンプリングが足りない結果です。そのサンプリング速度でどこまでの向き急変が測れるのかの検証が必要です。これに基づいて、近似にしても移動平均にしても、どこまで滑らかにするべきなのかが決まります。

お礼

回答下さいましてありがとう御座います。勉強になります。
すみませんが、関連してもう一点数学的な質問としてヒントを下さい。
滑らかにする作業をして、近似曲線 y = f(x)を得たとお考え下さい。
この曲線上で、ある点と点の角度変化は、
arc tan ((f(x2)-f(x1))/(x2-x1))で求まりそうですが、
角速度や角加速度を求めたい場合、時間に関する情報が必要です。
滑らかにする作業の前ならば、各点に相当する時間があるため、時間の差で先の角度を割れば角速度が求まりそうです。しかしながら、滑らかにする作業の後では、時間情報がありませんが、どのようにして角速度を算出することができるのでしょうか。例えば、滑らかにする作業の前に(x3, y3)、(x4, y4)という点があったとして、そのときの時間がt3, t4だとしても、これら二点が近似曲線上にあるとは限りません（むしりない方の確率の方が高そうです。）。x3やx4を近似曲線に代入して、f(x3), f(x4)を使って、arc tan ((f(x4)-f(x3))/(x4-x3)) / (t4 - t3)を角速度とすることで一応は求まりそうですが、このような方法でよいのでしょうか。至らない部分、分かりにくい部分が多々ありそうですが、どうかご理解頂き、私の見解を添削頂きたく、どうかお願いします。勉強不足の点、お詫び申し上げます。

回答No.1

misawajp

独学ですか？
学校や企業の研究所であれば、基本的な事項として指導を受けているはずです

直線、二次曲線、三次曲線で近似し、その近似式から求めます
どの近似が適切であるかの検証考察を行ないます

お礼

回答下さりありがとう御座います。
大学におりましたが、文系でしたため、このようなことに触れる機会がありませんでした。
独学、という程、大それたものではありませんが、物理を勉強し始めております。
また、このような動く物体の軌跡を追う作業をすることになり、その際に出会った疑問であります。単純に物理の式を当てはめたら、角加速度のプロットが上下にジグザグしてしまい、どうしたら良いのか分からずにおり、一般にいったいどうやってこのような作業を行うのか、という疑問に当たりました。

なるほど、近似式をたてるのですね。エクセルでグラフを書いたときにオプションで求めることができる式のことではないかと認識しております。その近似式ですが、どのようにして求めることができるのか、検証考察とはどのようなものか、触りだけでも教えて頂けないでしょうか。これから学ぶためにも、適切な参考書や教科書をみつけるためにも、どうぞよろしくお願いします。追加の質問で申し訳ありませんが、重ねましてよろしくお願いします。