Σk^3について

質問

Σk^3（k=1→n）は、｛n(n+1)/2｝^2に等しいですが、なんでそうなるんだろうって思います…見た目的に。

どうしてかというと、Σk＝n(n+1)/2だからです。k^3になったのだから、n(n+1)/2も3乗じゃないの??って思います…。

証明をすれば、3乗したものとは当然等しくならないことはわかるのですが、なんかヘンな感じがします。

ヘンな質問ですが、回答していただけると嬉しいです!!

回答No.5

staratras · ベストアンサー

No.4です。一般の場合について少し補足します。

1^3+2^3+3^2…+k^3までが、1辺が1+2+3…k=k(k+1)/2の正方形で表されたとします。

これに(k+1)^3を加えるということは、図では1辺がk+1の正方形を(k+1)個加えることになります。つまり、短辺k+1,長辺(k+1)^2の長方形を加えることです。

この長方形を、図の高さk(k+1)/2のところで2つに分けると、1辺がk(k+1)/2の正方形とくっついた部分から上にはみ出した部分は、長辺が(k+1)^2-k(k+1)/2=(k^2+3k+2)/2、短辺がk+1の長方形になります。

ここでk(k+1)/2+(k+1)=(k^2+3k+2)/2 となりますので、はみ出した長方形を左に90度回転させて元の小さい正方形+αの図形に重ねれば、一辺が(k^2+3k+2)/2=(k+1)(k+2)/2 の大きな正方形に過不足なく変形できたことになります。

つまり1^3+2^3+3^2…+k^3+(k+1)^3までが、1辺が1+2+3…k+(k+1)=(k+1)(k+2)/2の正方形で表されたことになります。

なおNo.4で一部「^」が「～」になっていました。失礼しました。

回答No.4

staratras

＞Σk^3（k=1→n）は、｛n(n+1)/2｝^2に等しいですが、なんでそうなるんだろうって思います…見た目的に。

以下に述べることは厳密な証明ではなく図による説明ですが、ご質問の疑問解消には役立つかもしれません。

添付した図では、nの３乗をn個のnの２乗の和として表しています。
一番下の段の正方形を並べた長さがΣkを、また全体の正方形の個数がΣk^3を表しています。

左の図は、1~3+2~3を表していますが、赤のますを移動させることにより過不足なく、
Σk(この場合は3)を１辺とする大きな正方形を作ることができます。
つまりΣk^3(k=1→2)=(Σk(k=1→2))^2 となることが明らかです。

右の図は1~3+2~3+3^3ですが、緑のますを移動させれば過不足なく
Σk(この場合は6)を１辺とする大きな正方形を作ることができます。
Σk^3(k=1→3)=(Σk(k=1→3))^2 となることも明らかです。

これがすべての場合について成り立ちます。

回答No.3

htms42

∑ｋ^1＝n(n+1)/2
∑ｋ^2＝n(n+1)(2n+1)/6
∑ｋ^3＝{n(n+1)/2}^2
・・・

ｋのべきが１，２，３、・・・と増えて行くと和の式の中で掛け算になっているｎの項の数は２，３，４、・・・と増えて行きます。

∑ｋの場合は説明が教科書にも出てくると思います。

〇◎◎◎◎
〇〇◎◎◎
〇〇〇◎◎
〇〇〇〇◎

１，２，３，４と足すと台形ができます。この面積は４×５の長方形の面積の半分になっていることが分かります。

１^2、２^2、３^2、４^2と足すと１辺の長さが１，２，３，４の正方形（厚さも１）を積み重ねた四角錐台ができます。この体積は４×５×９の６分の１です。

和を取るとべきが１つ高くなるのです。

∑ｋ、∑ｋ^2、∑ｋ^3、・・・を順番に求めて行く方法があります。

k(k+1)-(k-1)k＝2k
両辺の和をｋ＝１からｎまで取ると
n(n+1)＝２∑ｋ

k(k+1)(k+2)－(k-1)k(k+1)＝3k(k+1)
和を取ると
n(n+1)(n+2)＝３∑ｋ^2＋３∑ｋ

この求め方では引き算をすることでべきが１つ下がることを使っています。

回答No.2

spring135

Σk（k=1→n）=n(n+1)/2

Σk^2（k=1→n）=n(n+1)(2n+1)/6

Σk^3（k=1→n）=｛n(n+1)/2｝^2

Σk^4（k=1→n）=n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)/30

Σk^5（k=1→n）=n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1)/12

Σk^i（k=1→n）=nの(i+1)次式

公式集でも見て楽しんで証明してみてください。

回答No.1

bgm38489

（１＋２＋３）＾３＝１＾３＋２＾３＋３＾３ですか？違いますよね。