確率における「場合の数」の考え方について
確率・統計のことをざっと知りたいと思って、石村園子氏の「すぐわかる確率・統計」を読み始めたのですが、この本では大昔高校で苦しんだ順列・組み合わせの解説が少ししかありません。しかもその演習問題があまりにも簡単なものばかりなので、少し心配になって高校数学の参考書に戻ることにしました（笑）。
高校数学の参考書には、1つの試行において事象 A の起こる確率を P(A) を
事象 A の起こり得る場合の数 事象 A の根元事象の個数
P(A) = ーーーーーーーーーーーーーーー = ーーーーーーーーーーーーーー
起こり得るすべての場合の数 全事象の根元事象の個数
で定義しています。私のように数学が苦手な者にとって、この定義にある「場合の数」とういう概念は、問題文の前後の文脈によってはとてもわかりにくい概念です。
とりあえず高校の参考書に載っていた基本問題を一通りやって、頭の中を整理するためにまとめたのが以下の記述です。おかしなところを添削していただけたら幸いです。
箱の中に赤玉が 3 個、白玉が 2 個、青玉が 1 個入っている。その赤玉 3 個、白玉 2 個、青玉 1 個を
R1, R2, R3, W1, W2, B
で表す。
【試行I】
箱から
玉を 1 個取り出しては元に戻すという操作を 5 回繰り返す試行
において、
赤玉が 3 回、白玉が 2 回取り出される事象 A
の確率を求める。
全事象は 6 個の玉から 1 個取り出しては元に戻す操作を 5 回繰り返すことだから、すべての場合の数（全事象の根元事象の個数）は
6*6*6*6*6 = 7776
赤玉を●、白玉を○で表したときの事象 A のパターンは
● ● ● ○ ○
であるから、「事象 A のパターン」の場合の数は
5C2 = 10.
つまり事象 A は 10 通りに分類でき、1 つの「事象 A」の場合の数は
3*3*3*2*2 = 108.
これが 10 通りあるのだから、事象 A の場合の数（事象 A の根元事象の個数）は全部で
10*108 = 1080.
求める確率は
1080/7776 = 5/36
確率では「区別のつかないものでも区別して考える」という格言が頭にこびりついて離れなかったので
・「事象 A のパターン」の場合の数を求めるときは赤玉同士、白玉同士を区別しない
のはなぜなのか悩みました（笑）。こういうところは、皆さんあまり苦労しないのでしょうか？
全事象の根元事象の例を挙げると
{ R1, R1, R1, R1, R1 }, { R1, R1, R1, R2, R3 }
{ R1, R2, R3, B, B }, { R1, R1, R1, B, B }
{ W1, W2, B, W2, W2 }, { W1, W1, B, W1, W1 } ………etc
事象 A の根元事象は
{ R1, R2, R3, W1, W2 }, { R1, R1, R1, W2, W2 }
{ W1, R1, R2, W2, R3 }, { W2, R2, R2, W2, R2 } ………etc
【試行II】
箱から
玉を 1 個ずつ取り出すという操作を 5 回繰り返す（ただし取り出した玉は戻さない）
試行において
赤玉が 3 回、白玉が 2 回取り出される事象 B
の確率を求める。
全事象は 6 個の玉から 1 個取り出す操作を 5 回繰り返すことだから、すべての場合の数（全事象の根元事象の個数）は
6*5*4*3*2 = 720
赤玉を●、白玉を○で表したときの事象 B のパターンは
● ● ● ○ ○
であるから、「事象 B のパターン」の場合の数は
5C2 = 10. （ここまでは試行Iと同じ）
事象 B は 10 通りに分類でき、1 つの「事象 B」の場合の数は
3*2*1*2*1 = 12
これが 10 通りあるのだから、事象 B の場合の数（事象 B の根元事象の個数）は全部で
10*12 = 120.
求める確率は
120/720 = 1/6
全事象の根元事象の例を挙げると
{ R1, R2, R3, W1, B }, { B, R2, R1, R3, W1 }
{ W1, W2, R1, R2, B }, { R2, R1, B, W1, W2 } ………etc
事象 B の根元事象は
{ R1, R2, R3, W1, W2 }, { R1, W2, R2, W1, R3 } ………etc
【試行III】
箱から
同時に玉を 5 個取り出す
という試行において
赤玉が 3 個、白玉が 2 個取り出される事象 C の確率を求める。
赤玉が 3 個、白玉が 2 個取り出される事象を C とする。
全事象は 6 個の玉から 5 個取り出すことだから、取り出し方の場合の数は
6C5 = 6
赤玉を●、白玉を○で表したときの事象 C のパターンは、
● ● ● ○ ○
だけである。つまり、赤玉 3 個から 3 個取り出し、白玉 2 個から残りの 2 個取り出すのだから
3C3*2C2 = 1.
よって求める確率は
1/6
全事象の根元事象は
{ R1, R2, R3, W1, W2 }, { R1, R2, R3, W1, B }, { R1, R2, R3, W2, B }
{ R1, R2, W1, W2, B }, { R2, R3, W1, W2, B }, { R1, R3, W1, W2, B }
事象 C の根元事象は
{ R1, R2, R3, W1, W2 }
お礼
ありがとうございました。
補足
ご回答ありがとうございます。 やはりそうとしか取れませんよね・・・。 マネーの進化史（ニーアルファーガソン 訳：仙名記）より引用します。 『危機（リーマンショック）が始まる前の二〇〇七年七月、アメリカのあるヘッジファンド・マネジャーは、これから五年以内にアメリカで景気後退が起きない確率は七対一だ、と私に語ったものだ。「ボクは前に、世界は終わったりなんかしない、と言ったけど」と、彼は半年後につぶやき、「ボクたちの負けだよ」と認めた。』 落ち着いて読み返してみると、「～しない確率」が高いと言っていたようです。 寝不足の状態だったので、思考力が低下していたのでしょうか・・・。 ご迷惑おかけしました。