小笠図形に対し、正方形の折り紙からふたのある容器は

質問

「一枚の正方形の形をした紙からどのようにすればより大きな容積(ふたはない)を持つ容器を作ることができるか？」
というパズル的な問題に対して、小笠図形の改良版がいま知られている最大解のようです。

https://sites.google.com/a/googlesciencefair.com/science-fair-2012-project-ahjzfnnjawvuy2vmywlyltiwmtjydwssb1byb2ply3qy7-uhda/home

では、正方形の折り紙からふたのある容器を作るとき、その最大体積の形は知られているのでしょうか?

回答No.1

momordica · ベストアンサー

そもそも、その「小笠図形の改良版」とやらは、容積が最大になる形でも何でもないと思います。

そのサイトでは一辺12cmの正方形を使っているようですが、例えば、添付図のように
その正方形を切って正六角柱と正六角錐を組み合わせた形の容器を作ると、その容積は
　112√3≒193.9896904
で、「小笠図形の改良版」より大きくできます。

別に私の挙げた形が最大だというのではなく、正方形からもっと容積が大きくなる容器を
作ることは容易だと言いたいだけです。

サイトの中でも触れられている通り、面積が一定の容器なら、容積が理論上最大になるのは
半球面ですが、正方形を有限回切り貼りするだけでは、球面そのものを作ることはできません。
ただし、「小笠図形」のように、正方形の紙から一部を切り取ったり辺で折ったりするだけ
でなく、面を別の場所に移動して貼りつけるすることを許すなら、切り方次第で、正方形と
同じ面積を持つ半球面にいくらでも近い容器が作れます。
面を完全に切り離して張り合わせるのではなく、一点をつなげたままでなければならないのだ
というつもりかも知れませんが、実際それは大した制約にはなりません。
実際、私の挙げた六角の形も、隣の面と共有する一点をくっつけたままで組み立てることは
できます。
ですから、正方形を有限回切り貼りして容器を作るという条件なら、形を工夫していくと、
容積は極限として半球面の容積に近づくだろうとは思いますが、最大となる形などという
ものは存在しないでしょう。

同様に、「蓋のある容器」の方も、正方形と同じ面積の球面が理論上の最大ですし、
正方形を有限回切り貼りして容器を作る場合も、それに限りなく近づけることはできるだろうと
思いますが、容積が最大となる形というものは存在しないと思います。

お礼

すばらしい結果をありがとうございます。
こういったパズルは、オリンピックの記録みたいなもので、徐々に更新されていくものと思います。
自慢げに動画で語っていた高校生たちの記録が軽々と破られてしまったようです。
momordica様の研究成果をぜひ発表されてください。