電磁場における伝播速度

質問

∂^2E_x/∂t^2 = (1/ε_0 μ_0 )(∂^2E_x/∂z^2)
という式から伝播速度cを求めるという問題をやっていて意味不明だったところ
解法の意味がわからなくても単位換算で簡単に説明できるよと友達に言われて

上記の式はつまり

[V/m]/[s^2]=[1/ε_0 μ_0]・[V/m]/ [m^2]
と書けるでしょ。と言われました。
ここまでは普通に理解できたのですが問題は

[ε_0 μ_0]=[s^2]/[m^2] = [m/s^2]
よって
速度は[m/s]だから

c= 1/√ε_0 μ_0

となるよと言われたのですが答えはc= 1/√ε_0 μ_0

出逢ってるのですが何故[ε_0μ_0]=右辺が[m/s^2]になるのかがわかりません。

御教授お願い申し上げます。

回答No.1

hitokotonusi · ベストアンサー

[m/s^2]じゃ加速度ですよ。[m^2/s^2]=([m/s])^2でしょ。

一般に波動関数はf(z-vt)でφ(z,t) = z-vtとすると
fはφの1変数関数f = f(φ(z,t))なので

∂f/∂z = (df/dφ)(∂φ/∂ｚ)=(df/dφ)
∂^2 f/∂z^2 = [d(df/dφ)/dφ](∂φ/∂ｚ)=(d^2f/dφ^2)

∂f/∂t = (df/dφ)(∂φ/∂t)=-v(df/dφ)
∂^2 f/∂t^2 = -v [d(df/dφ)/dφ](∂φ/∂t)=v^2 (d^2f/dφ^2)

なので波動関数がしたがう方程式＝波動方程式は

∂^2 f/∂z^2 = (1/v^2) ∂^2 f/∂t^2

これと見比べれば (1/ε_0 μ_0 )が速度の2乗である事がわかります。
ε_0, μ_0 なら真空中でしょうから、その速度は真空中の光速cです。

お礼

いつも間違いのご指摘ならびご指導誠にありがとうございます。
c=3*10^8という値の導出はこうなってるのですね。

ちゃんと見直して勉強します。
本当にいつもありがとうございます。

回答No.2

spring135

速さの単位はm/sです。[m/s^2]ではありません。

ε_0とμ_0の各々の次元を確かめて次元の演算をすればよい。

ε_0=8.555×10^-12F/m=8.555×10^-12A^2s^2/Jm

μ_0=4π×10^-7H/m=4π×10^-7J/A^2m

c= 1/√ε_0 μ_0=(8.555×10^-12×4π×10^-7)^(-1/2)(s^2/m^2)^(-1/2)

=3×10^8m/s

F=A^2s^2/J, H=J/A^2 (J:ジュール、A:アンペア）は自分で調べて確認してください。

お礼

ご指摘ならびご指導ありがとうございます。実際の値を入れると確かに速度の値になるのですね。