tanhについてです。

質問

tanh x/2 は奇関数、(x/2)/tanh x/2は偶関数であるので1以外(3以上)の奇数のベルヌーイ数が0になるのは明らかであるとあるのですが、なぜなんでしょう！？

回答No.1

KENZOU · ベストアンサー

ベルヌーイ数って言うのは次のベキ級数展開（テイラー展開）に現れる係数として定義されますね。
　x/(1-exp(x))=B0＋Σ[n=1,∞](Bn/n!)x^n　　(1)
また(1)の左辺はtanhxを使うと
　x/(1-exp(x))=(-x/2)＋(x/2)/tanh(x/2)　　(2)
とも書けます。(x/2)/tanh(x/2)は偶関数であるということは、この関数をxでベキ級数展開すればxの奇数乗は含まないことになりますね（←ここがポイント）。
(1)の右辺を具体的に展開すると
　(1)=-x/2+1+B2x^2/2!+B3x^3/3!+B4x^4/4!＋B5x^5/5!+・・・
となります(詳しいことは参考URLを参照してください)。
ここで係数Bnのxのベキの項は先ほどのポイントを考えると、偶関数でなければならないから、結局xの奇数ベキは０でなければならぬということになります。

参考URL：

http://homepage3.nifty.com/y_sugi/gf/gf11.htm

回答No.2

noname#24477

もしもある関数が
（偶関数ｆ）＋（奇関数ｇ）＝（偶関数ｈ）＋（奇関数ｋ）
のようにできるとしたら
ｆ＝ｈ，ｇ＝ｋ
が成り立ちます。

これは無限べき級数展開でも言える・・・んでしょう。