恒等式の性質について

質問

恒等式の性質について

パソコンで累乗をどう表現したらよいのかがわからないので日本語読みで記します。

ａｘの2乗×ｂｘ×ｃ＝０がｘの恒等式　ならば　ａ＝ｂ＝ｃ＝０

とあるのですが、私が思うに必ずａ＝ｂ＝Ｃ＝０になるとは限らないような気がするのですが
私の解釈の仕方が間違っているのでしょうか？

恒等式とは文字かどんな値でも等式は成り立つということで間違いはないでしょうか。
ｘの値が決まってしまってもａ、ｂ、ｃの値は自由にとることができるのでこの3つの文字かすべて０となるというところに疑問を持ってしまいました。

わからないです。どなたか教えていただけますでしょうか。よろしくお願いいたします。

回答No.1

noname#158987 · ベストアンサー

まず、表現に難があるようなので直しますね。

ａｘの2乗×ｂｘ×ｃ＝０がｘの恒等式　ならば　ａ＝ｂ＝ｃ＝０

⇒ax^2　＋　bx　＋　ｃ＝0 がxの恒等式　ならば　a＝b＝c＝0

では、質問に答えたいと思います。
おっしゃっているように、
＞恒等式とは文字かどんな値でも等式は成り立つ
です。
なので、具体的に色々なxの場合にa,b,cがどうなるか考えてみればいいです。

x=0のとき、 c = 0
x=1のとき、a + b + c = 0
x=-1のとき、a - b + c = 0
この３つの場合だけに限っても右辺をゼロにできるa,b,cはa=b=c=0だとわかりますよね？
過剰条件になりますが、他のxの値の場合も加えて考えてみればいいと思います。
結局、a=b=c=0　しかないと分かりますから。

＞ｘの値が決まってしまってもａ、ｂ、ｃの値は自由にとることができる
というのは、あるxに関してだけ考えた場合です。
たとえば、上のようにx=1のときだけ考えた場合です。
でも、実際はx=0でも、x=2でも、x=10でも
成り立たないといけないとなると、a=b=c=0　しかありえないということになります。

以上です。

お礼

回答ありがとうございます。
そうですね。こう言葉にしてもらうとわかります。
納得できいるといいますか。
どこがわからないのかがわかりました。
私、抽象的な考えから具体的な考えをするときや、具体的な事柄から抽象的な考えに持っていくときの考え方がわからないのだなと。

今までに学問は暗記だと思っていたところがあって、すべての単元において解き方をすべて暗記すればよいのだと思っていました。
それがすべてだと。
でも、そうではないのですよね。

考えなければいけない。あたりまえのようですが私にはそこが欠けていたようです。
いろいろなかんがえがあってもそれがつながっていかない。これも考えることを途中でやめてしまったからなのではないかなと思います。
やっと本当の数学を学ぶ意味がわかったような気がしています。
ていねいに回答をしてくださって本当に感謝しています。
またやる気ができてきました。
ありがとうございました。

回答No.2

ferien

＞ａｘの2乗×ｂｘ×ｃ＝０がｘの恒等式　ならば　ａ＝ｂ＝ｃ＝０
＞とあるのですが、私が思うに必ずａ＝ｂ＝Ｃ＝０になるとは限らないような気がするのですが
＞私の解釈の仕方が間違っているのでしょうか？
いろいろと勘違いがあると思います。

＞ａｘの2乗×ｂｘ×ｃ＝０がｘの恒等式　ならば　ａ＝ｂ＝ｃ＝０
は、
ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ＝０がｘの恒等式ならば、ａ＝ｂ＝ｃ＝０　ではないでしょうか？

＞恒等式とは文字かどんな値でも等式は成り立つということで間違いはないでしょうか。
＞ｘの値が決まってしまってもａ、ｂ、ｃの値は自由にとることができるので
ｘがどんな値でも等式ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ＝０が成り立つ　ならば、ａ，ｂ，ｃがすべて０となる　
ということです。

＞この3つの文字かすべて０となるというところに疑問を持ってしまいました。
改めて考え直してみてはどうでしょうか？

お礼

回答ありがとうございます。
改めて考えてみました。
間違いがたくさんありましたね。

一つ一つのことを考えていると全体がわからなくなってしまうのですよね。
順序立てて考えることが難しいです。
今はこうして少しずつ分かっていくことが楽しいです。
回答ありがとうございました。