円と直線の交点を通る円
次の問題について教えてください。
問題「円x^2+y^2=25と直線y=x+1の2つの交点と原点Ｏを通る円の方程式を求めよ。」
『チャートII＋Ｂ』（数研出版）
解答では
k(x-y+1)+x^2+y^2-25=0 に(0,0)を代入するとk=25
よって、x^2+y^2+25x-25y=0 が求める方程式。
なのですが、
解説の「２曲線の交点を通る曲線の方程式」では、
f,gが円を表すとき、
kf+g=0 は
k=-1のとき 2つの交点を通る直線
k=-1でないとき、2つの交点を通る円
を表す。
とあるので、これに沿って
求める円を x^2+y^2+ax+by+c=0 として
k(x^2+y^2-25)+x^2+y^2+ax+by+c=0
とおき、
k=-1のときが交点を通る直線なので 2円 x^2+y^2=25、x^2+y^2+ax+by+c=0 の2つの交点を通る直線が
y=x+1 つまり x-y+1=0 ・・・(1)
となると考えました。
ところがこれでは
-( x^2+y^2-25)+x^2+y^2+ax+by+c=0 ・・・(2)
ax+by+c+25=0 だから(1)と係数を比較するとc=-24となります。
一方求める円は(0,0)を通るから(2)に代入するとc=-25となります。
いずれも答えになりません。
これはどういうことなのでしょうか？
何が間違っていたのかわかりやすく解説ください。
お礼
回答ありがとうございます。 では、二つの図形の共通点が一つ以上ある場合は、必ず円になるんですね？ 回答お願いします。