数学の問題です 高等学校程度の数学かと思います

質問

どなたか数学に強い方解説をよろしくお願いいたします。

X，Yが X≧0， Y≧0かつX^2+Y^2=3を満たすとき、X^3＋Y^3の値の最大値と最小値を求めなさい。

回答No.2

mister_moonlight · ベストアンサー

定石通りの問題。

X+Y＝α、XY＝βとすると、α≧0、β≧0。α＾2-4β≧0、X^2+Y^2-3＝α＾2-2β＝3.‥‥(1)
X^3＋Y^3＝(X+Y)*(X^2+Y^2-XY)＝α(3-β)＝　α＾2-2β＝3を使って　βを消すと＝(-α＾3＋9α)/2
(1)からαの値の範囲は　0≦α≦√6だから　微分を使って　0≦α≦√6の条件で　(-α＾3＋9α)/2の値域を定めるだけ。
計算自分でやって。

お礼

この方法の解説が最も分かりやすかったのでベストアンサーにさせて頂きます。
みなさん詳しい解説ありがとうございました。
またなにかありましたらよろしくお願いいたします。

回答No.5

staratras

No.4です。一行訂正します。失礼しました。

f'(θ)=3√3((3cos^2(θ)sin(θ)+3sin^2(θ)(-cos(θ))…(この行×）
　　　=9√3sin(θ)cos(θ)((sin(θ)-cos(θ))だから

f'(θ)=3√3((3cos^2(θ)(-sin(θ))+3sin^2(θ)(cos(θ))…（こちら○）
　　　=9√3sin(θ)cos(θ)((sin(θ)-cos(θ))だから

お礼

三角関数の解法は思いつかなかったです。
詳しい解説ありがとうございました。

回答No.4

staratras

三角関数を使う解法です。

X^2+Y^2=3 かつX≧0,Y≧0　より

X=√3cosθ、Y=√3sinθ　ただし0≦θ≦π/2　と置ける

f(θ)=X^3＋Y^3=3√3((cos^3(θ)+sin^3(θ))

ここで
f'(θ)=3√3((3cos^2(θ)sin(θ)+3sin^2(θ)(-cos(θ))
　　　=9√3sin(θ)cos(θ)((sin(θ)-cos(θ))だから

θ　 　 　0　　　 　 π/4　　　　 　　π/２

f'(θ)　　 0 　 負　　　0　　　正　 　 　0　

f(θ) 3√3　 ↓　 (3√6)/2　 ↑　　　3√3

f(θ)は θ=0 または　θ=π/2 のとき　最大値3√3　を
θ=π/4　のとき　最小値(3√6)/2　をそれぞれとる

X,Yで表せば、X^3+Y^3は
(X,Y)=(0,√3)または(X,Y)=(√3,0)のとき　最大値3√3　を
(X,Y)=(√6/2,√6/2) のとき　最小値(3√6)/2　をそれぞれとる

回答No.3

mister_moonlight

書き込みミス。

(誤)　(1)からαの値の範囲は　0≦α≦√6だから　微分を使って　0≦α≦√6の条件で　(-α＾3＋9α)/2の値域を定めるだけ。

(正)　(1)からαの値の範囲は　√3≦α≦√6だから　微分を使って　√3≦α≦√6の条件で　(-α＾3＋9α)/2の値域を定めるだけ。

回答No.1

nag0720

X^3+Y^3 をX+Yで表して、Z=X+Yとおいて最大最小を求めればいいじゃないかな。