物理I・IIの力学において

質問

すいません、今、物理I・IIの勉強をしているので すが、力学分野の「単振動」で出てくる公式の使 い方が分かりません。

円運動の立式方法と強く関係しているそうなの ですが、どう関係している のかが分かりません 。

どなたかお分かりになる方いらっしゃいましたら 、お教えいただきたいのですが、よろしくお願 いいたします。 文章の表現力が乏しく申し訳ありません。

回答No.1

Quarks

等速円運動を、"横"から見ると、単振動になる、ということはご存じですね？
イメージとしては、等速円運動している物体に横方向から光を当て、少し離れた地点に置かれたスクリーン上に、"影"（射影と呼ばれます）を映すと、射影が往復運動するように見えます。この、射影の往復運動こそが、単振動なのです。

単振動を数式で表現するときには、等速円運動する物体の射影の運動を表現すれば良いです。
具体的には…
射影が往復運動する方向に、ｘ軸をとり、往復運動の中心を原点とします。
等速円運動の角速度をω,半径をＡ，速さをＶ，加速度の大きさをαとします。
等速円運動ですから、ω，Ａ，Ｖ，αはすべて一定の値です。
以降は、添付図を参考にして辿って下さい。

円運動は、時刻０でＲ点の位置から、左回りに角速度ωで始まったとします。

時刻ｔあとにはθ＝ωｔだけ回転しているはずで、そのときの位置がＰ，射影の位置はＰ'です。
図から、Ｐ'の位置は、原点からＰＱの距離だけ離れていますから
ｘ＝ＰＱ＝Ａsinθ＝Ａ・sin(ωt)
∴ｘ＝Ａ・sin(ωt)　　式(1)
と表現できます。
物体Ｐの速度ベクトル（図のＶ)，加速度ベクトル（図のα）は、物体に付いた矢羽根と見ましょう。すると、Ｐ'にもその"影"が付いています。このＶやαの射影が単振動の速度ｖや加速度ａに当たります。
図形的に見ると
ｖ＝Ｖ・sin(π/2-θ)=V・cosθ=V・cos(ωt)
V＝A・ωですから
ｖ＝Aω・cos(ωt)　　式(2)
ａの大きさは　α・sinθですが、明らかに負の向きですから、ベクトルとしてのａは
a=-α・sin(ωt)
α=A・ω^2　ですから
a=-Aω^2・ｓｉｎ(ωt)　　式(3)

(1)～(3)が、円運動から推測できる、単振動の変位ｘ，速度ｖ，加速度ａを与える公式となります。