数学です

質問

真夜中にどうもこんばんわ
毎日勉強頑張ってますが高一の私には少しキツイ問題がいくつかありまして…
考えていたらこんな時間になってしまいましたっ

ですので、回答解説お願いします…！

lim[x→0]{√(9-8x+7cos2x)-(a+bx)}/x^2が有限の値となるように、定数a,bを求めなさい

回答No.3

info22_

x→0のとき分母→0なので有限の極限値を持つためには　分子→0でなければならない。
　x→0の時　分子→√(9-0+7cos0)-(a+0)=4-a=0 ∴a=4
a=4（必要条件）とすると
lim[x→0]{√(9-8x+7cos(2x))-(4+bx)}/x^2
分子の有理化をすると
=lim[x→0]{(9-8x+7cos(2x))-(4+bx)^2}/[(x^2){√(9-8x+7cos2x)+(4+bx)}]
=lim[x→0]{9-8x+7cos(2x)-(16+8bx+b^2*x^2)}/[(x^2){√(9-8x+7cos2x)+(4+bx)}]
=lim[x→0] -[8(b+1)+7{(1-cos(2x))/x}+b^2*x]/[x{√(9-8x+7cos2x)+(4+bx)}]
=lim[x→0] -[8(b+1)+7{(sin(x)/x)^2}x+b^2*x]/[x{√(9-8x+7cos2x)+(4+bx)}]
x→0のとき分母→0なので有限の極限値を持つためには　分子→0でなければならない。
　x→0の時　分子→8(b+1)+7*0+0=0 ∴b=-1
b=-1（必要条件）とすると
=lim[x→0] -[0+7{(sin(x)/x)^2}x+x]/[x{√(9-8x+7cos2x)+(4-x)}]
=lim[x→0] -[7{(sin(x)/x)^2}+1]/{√(9-8x+7cos2x)+(4-x)}
=-(7+1)/{√(9+7)+4}=-8/8
=-1
となって有限な極限値-1が存在する（十分条件であることが確認できた）。
従って、a=4,b=-1　であれば良い（必要十分条件）。

回答No.2

ONEONE

訂正、、
a, bを求めるじゃなくて aを求める。
その後bを求めて十分性を言う。

回答No.1

ONEONE

分母が0に収束するから分子が有限の値に収束するか無限大に発散すると発散してしまうので、分子は0に収束することが必要。このときのa, bを求める。そして十分性を確認。