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『1＝0.999‥‥』を哲学してみました。
『1＝0.999‥‥』を赤玉と白玉を使って考えて哲学してみます。 (1)全部で玉が100個のうち、赤玉が100個で、白玉が0個ならば 全ての玉のうち 赤玉が100％ 白玉が0％ ということになりますので、つまり、玉が（全て赤）ということになります。 (2)全部で玉が100個のうち、赤玉が99個で、白玉が1個ならば、 全ての玉のうち 赤玉が99％ 白玉が1％ ということになりますので つまり、玉は（全て赤ではない）ということになります。 (3)全部で玉が∞個のうち、赤玉が∞個で、白玉が0個ならば 全ての玉のうち 赤玉が100％ 白玉が0％ ということになりますので つまり、玉は（全て赤）ということになります。 (4)全部で玉が∞個のうち、赤玉が∞個で、白玉が1個ならば 全ての玉のうち 赤玉が99.999‥‥％ 白玉が0.000‥‥％ ということになりますが 赤玉が∞個あっても、白玉が消えるわけではないので、白玉が1個ありますので つまり、玉が（全て赤ではない）ということになります。 ここで、 全て赤＝赤100％ 全て赤ではない＝赤100％未満 とします 全て赤＝全て赤ではない は成り立ちませんので つまり、先程の結論の、(3)は（全て赤）で、(4)は（全て赤ではない）ですので (3)と(4)は結論がイコールにならないということになります また、(3)は全て赤＝赤100％ 、(4)は全て赤ではない＝赤99.999‥‥％（100％未満） ですので このように、玉が全て赤か否で考えると 赤100％＝赤99.999‥‥％も同じく成り立たないということになります 両辺を100で割れば 1＝0.999‥‥となりますが やはり、このような玉を使い、全て赤か、全て赤ではないかというような考え方で哲学してみると、 1＝0.999‥‥も同じく成り立たたないと思います。 つまり単純に、いくら赤が無限個あっても、白1個の存在を消すことはできませんので、白が0.000‥‥％であっても、白1個が存在しますので 白0％＝白0.000‥‥％ も同じく成り立たないように思います。
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- eclipse2maven
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25 から ＞つまり、無限は演算に定義できないので、数学的に正当性をもってこの質問を議論することは困難だということなのですね、少し残念ですが…。 ＞直感的で全くもってくだらない考えになりますが、これはどうなのでしょうか？ 別の「実数」を定義するという話ならば、いろいろ言うのは自由です。ただし論理的整合性が要りますし、それを使うメリットが必要でしょう。たとえば私は、よく知りませんが、超準解析、無限小解析といった話もあります。ただこれって、コンヌが超積とか作用素論に持ち込んだから、メジャーになったんでしょうけど。
- B-juggler
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Ｎｏ．１９です。 引っ込もうかと思ったけど、ちょっとね＾＾； これはたいへんです。 受け入れようと言う気持ちは持ってくださいね＾＾； 最初から、こちらの言うことは違う！ と決め付けずに どっちが間違いでも構わないのですから。 論理的に、哲学的に、ご自身が正しいと思われるほうを 行ってください。何かずっと、自身の正しさを主張されていて、 こちらの意見には耳を貸さないところがお見受けできます＞＜ ＃これ学生なら、かなりまずいかと・・・。 哲学されるのですから、自身が常に正しいとは限らないことは良くご存知かと。 Ｎｏ．２３の補足にありますけど、引用させてもらいますね。 ～～～～～ 回答者様のご説明された内容に反論する余地はないと思いますが、 1÷10＝0.1 1÷100＝0.01 1÷1000000＝0.000001 なら 1÷10＾∞＝0.000‥‥ になると思います ～～～～～～～～～～ 引用終わりです。 １／（１０＾∞） まぁ、この定義はできないのですが、いいとしましょう。 問題は右辺なのです。 ＝０．００００００・・・・・・・０００００００１ （１） 最後が必ず １ なんですよ。 ＃これは ＃１９ に書いてもいます。 僕もこの領域は本域ではないですが、これくらいはね＾＾； この（１）式の状態をして、 １＞＞＞＞（１）式＞０ なのですから、０とみなしても構いませんよ と、言うことですよ。 おおよそ０ ≒０ でもいいですよ。 ０ではないんだけど、どう考えても０に近い。なら０と扱おう。 そういうことなんです。 何度も失礼。 結局、その道のプロが（σ(・・*)は除く）、説明してくださっても、 聞く耳をもたれなければ、哲学でも何もなくなってしまいます。 (=^. .^=) ｍ（＿ ＿）ｍ (=^. .^=)
- windwald
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これだけたくさんの正解がありながら、理解は一歩たりとも進んでいないようで…… つまり、質問者さんの前提「赤い玉が無限に存在しようと、白玉が1つある限り、白玉の存在比は0ではない」そのものが間違いだと言うことなのです。
- eclipse2maven
- ベストアンサー率32% (33/101)
21のコメントについてですが ２１で 「私は、amluqhxさんの論法の間違いを指摘しておきます。基本的に１１と同じ内容です。」 と言ってる意味がわかっておられないようですね。このことに対してコメントは、無意味です。 amluqhxさんの主張を論法を正して、まとめた内容が１１にあたります。 あとは、1＝0.999‥‥という事実、これは実数の定義においてです。別の「実数」を定義するのなら別ですが、それもきちんと論理的整合性が必要です。
- kabaokaba
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おお・・・ また新しいものが！ 10^∞で1を割る！ 10^∞ってなんでしょうか？ ∞を演算に組み込んじゃいけないって 納得してくれたのかと思ってましたが ========= 0が無限に続くのには意味があるからです、割り算が終わらないからです、割り算が終わらないからしょうがなく0が続くことと、単に0が続くこと、には違いがあります、しかし、０は０ですのでそれは数学では違いを示すことはできないのでしょうが、0の『意味』が全く異なります ========= いや・・・これも新しいものだ！ 存在そのものと「指標の違い」を考えてみてください． 何か指摘されるたびに新しいものをだすってのは どんなもんなんでしょう？
補足
ご回答ありがとうございます！ つまり、無限は演算に定義できないので、数学的に正当性をもってこの質問を議論することは困難だということなのですね、 ただ、回答者様が、この質問に妥協して直感的に緩く解釈するとするならANo18の最後にご回答頂いた内容のように、 『『無限個の赤玉の中に、白玉が一個の状態の場合』、白玉の割合が0％であっても、 割合が0％ということと、全く存在しないことは同義ではない、直感とは相容れないが∞を内包するとこういうことが起こる』ということなのですね。 つまり、回答者様が、緩く解釈すれば、0＝0.000‥‥は数学的に成り立たつので、こういう直感と矛盾する結論になるということですね、 また、おっしゃられた『0％ということと全く存在しないということは同義ではない』ということは 赤玉無限個に白玉一個の場合は、0.000…％ということと全く存在しないのは同義ではありませんが、しかし、赤玉無限個だけで白玉無しのときは、0％ということと全く存在しないということが同義になりますので、0＝0.000‥‥は直感的には違いが存在するということですね、丁寧なご説明ありがとうございました。 ここからは全くもってくだらない話しだと思って頂いてけっこうです、直感的な話しになりますがこんなことを考えてみました 赤玉∞個の中の白玉1個という状態から、白玉1個を取り去ると、赤玉だけになり、白玉0.000‥‥％から0％になると思います（もちろん数学的には0と0.000‥‥には違いはないと思いますが）、 それを式にするとすると 『分母が赤玉で、分子が白玉だとすると』 1／∞－1／∞＝0 になります つまり、 0.00…－0.00…＝0 ということになります、もちろん数学的には0.00…と0.00…の差を定義できず引き算すら不可能かもしれませんが、『赤玉∞個の中から白玉1個を取り出す』という状況を考えると、数学的には不可能でも上述のような式で計算を考え、0と0.000…に対し架空の差を考えることができます さらに、『赤玉∞個の中に白玉が2個ある場合』そこから白玉1個を取り出す場合を式にすると 2／∞－1／∞＝1／∞ になります つまり、 0.00…02－0.00…01＝0.00…01 ということになります もちろん、数学的に0.00…02と0.00…01は大小が不確かであり両者に差を考え定義することは不可能ですが、『赤玉∞個の中の白玉2個から、白玉1個を取り去る』という状況を考えることができるならば、それに対応し0.00…02と0.00…01に対し架空の大小差を考えることが可能になります、0.00……とゼロが無限に続けば最後尾の1や2などもちろん存在しませんが、赤玉と白玉で考えて今回の質問の結論のように、『0％であることと存在しないことは同義ではない』それが無限の本質であると考えれば、0.000……にはゼロが無限に続くが、白玉が1個存在するように、架空の存在として1や2が存在しているので架空の大小差が存在すると考えられるのではと思います、赤玉無限個の上に乗った白玉1個を確かに見ることができることが、まさに架空の1や2を見ることができる状態だと思いました。 直感的で全くもってくだらない考えですが、これはどうなのでしょうか？
- kabaokaba
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>(2)『赤玉が∞個、白玉が1個なら』 > >赤99.999‥‥％ >白0.000‥‥％ > >になるはずと思います 新しいのがでてきましたかなー 0.00.......%ですか これって「ずっと0が続く」なら0ですよ こういうふうに有限の類推で無限を扱うこと， 「なるはず」という推測， 定義を明確にせず表記することが 問題を混迷させるのですよ． 無限ってのは，そういういやなものですが だからこそ，いろいろなものを発展させてきたのです． で，同じことをやってますよ． すでに指摘してまし，ほかの方も指摘してますけど 「割合」ってのは「有限でしか成立しない」のです． 無限がでてきた段階で 「割合」ってのはダメです． 割合ってのは存在に対する指標に過ぎず 存在そのものではありませんよね． そして「有限の場合」は割合という指標は存在を忠実に表している． しかし「無限」にいたっては・・そもそも定義すらされてないのですよ． これもすでに指摘されてますが（これはいい例だと思います，私は思いつかなかった）， ・正方形から一点を引っこ抜いても面積は同じ ・一点の面積は0 というのが納得できれば，理解できそうなんだけど。。。。 「カントールの悪魔の階段」「カントールの三進集合」とか 「ドラゴン曲線」なんかいい題材かと 割合の変わりに，無限でも有限でもOKな「面積・長さ・個数」でいってみましょうか 面積（や長さ）の「有限版」は個数ですけど 確かに100コの点から一つをとれば99個だけど， 100この点の「長さ」は0です． 一方，100cmの紐から一点とっても100cmなんですよ ただし途中の点をとると切断してるみたいでいやなので 端っこの点をとりましょう． ＃本当は途中の点でもいいんだけど・・・これは ＃積分ってのは積分区間の有限個の点で関数がちょんぎれてても問題ないってことに ＃相当する・・・個数を数える・長さ・面積を測るってのは数学では全部「積分」になる 数学だろうが論理だろうが 1=0.999.... です． これと「割合」とかは無関係というか 1=0.999....の方が先というか根本原理側です． これに反した結果にはどこかに誤りがあるのです． ＃相対論の光速度不変の原理みたいなものか？(^-^;
補足
ご回答ありがとうございます！ 回答者様のご説明された内容に反論する余地はないと思いますが、 1÷10＝0.1 1÷100＝0.01 1÷1000000＝0.000001 なら 1÷10＾∞＝0.000‥‥ になると思います 0が無限に続くのには意味があるからです、割り算が終わらないからです、割り算が終わらないからしょうがなく0が続くことと、単に0が続くこと、には違いがあります、しかし、０は０ですのでそれは数学では違いを示すことはできないのでしょうが、0の『意味』が全く異なります それこそ、白玉の存在です、白玉が一個存在するからわざわざしょうがなく0が無限に続くのです。 ご指摘があった、 正方形の一点（長さ0）を取っても正方形の面積は変わらないという例えがありましたが その一点を無限回、正方形から取ってももちろん正方形の面積は一切かわりません、そして、取り出した無限個の一点から正方形の面積を作ろうとしてもいっこうに正方形の面積にはなりません0は0ですから。 しかし、赤玉無限個の中の、白玉一個を取り出したら赤と白それぞれどうなるでしょうか？、つまり赤の中から白を分離（取り出す）して割合を考えたら、赤玉は99.999‥‥％から無限個で100％になり、白玉は0.000‥‥％から1個で100％になります、0.000‥‥％だった白玉一個の存在は大きな意味を持ちます、取り出して白玉100％になるのです。 最初から赤玉が無限個で白玉が0個だった場合、白玉は取り出すことができないので白玉0％です、赤玉はもちろん100％です、白玉が取り出せないので、取り出した白玉で白玉の割合がいっこうに作れません0は0ですから。 正方形の一点の『0』と、赤玉無限白玉一個の白玉一個の『0.000‥‥』は異なりませんか？
- ricardo_
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Ｎｏ．１５の返事 ＞赤100％（全て赤）≠赤99.999‥‥％（100％未満）（全てが赤ではない）である。 ＞ということに正当性はあるでしょうか？ 「1 ≠ 0.999‥‥ の正当性はあるのか？」と置き換えて良いのであれば、有るでしょう。 （Ａ）１／∞ ＝ ０ （Ｂ）１／∞ ＝ （０．０００・・・１ のようなものであり、ゼロではない） ＡもＢも定義可能でしょう。ＡとＢの ∞ の内容と言うか質を変えれば、同時に定義可能でしょう。無限大に、種類があるという事です。 （Ｃ）１／３ ＝ ０．３３３・・・ （Ｄ）０．３３３・・・ × ３ ＝ ０．９９９・・・ （Ｅ）１ ＝ ０．９９９・・・ （Ｆ）１ ＞ ０．９９９・・・ （Ｇ）１／３ ＞ ０．３３３・・・ ＣとＤを採用すれば、Ｅになります。ＤとＦを採用すればＣが成り立たず、Ｇになります。 「０．９９９・・・ には最後が無いんだから・・・ 」と、簡単に済ましては行けません。 数学で「式の展開」と言うのが有ります。（ｘ＋ｙ）＾２ ＝ ｘ＾２ ＋ ２ｘｙ ＋ ｙ＾２ と言うものです。 自然対数の底 ＝ （１ ＋ １／∞）＾∞ ＝ １＾∞ ＋ ・・・ ＋ （１／∞）＾∞ 無限にある項の加算になりますが、最後の項が見えます。 （Ｈ）平等目盛 （Ｉ）対数目盛 （Ｊ）三角関数のタンジェントを応用して、０と∞を含んだ目盛 対数目盛ではゼロを表現できません。だからと言ってゼロが無いと言うことにはなりません。 平等目盛で∞が表現できないからと言って、「終わりが無いんだから、∞の端点は無い」とは言えません。 Ｊのようにして、∞を含む目盛を作ることもできます。 対数目盛の大小を反転させた、「逆対数目盛」が有ります。計算尺で使います。掛けて１になるように並べ、ゼロに対応する目盛を考えます。 Ｈ，Ｉ，Ｊの目盛をよく見て考えれば、 １／０ ＝ ∞ とするのが妥当だと見えて来るでしょう。 世界地図の赤道を数直線に置き換えてみましょう。西経１８０度は －１８０、 東経１８０度は ＋１８０になります。 しかしこれら２点は同じです。 －１８０ ＝ ＋１８０ だったと言う訳です。 ＋１８０を∞に置き換えて考えると、「ゼロが正でも負でも無いように、∞も負でも無い」と言う考えが成り立ちます。 反比例のグラフで上が＋∞、下が－∞だと思っていたものが繋がっていたという事です。
- eclipse2maven
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１１です 身近な例で言えば、 長さ１の正方形の面積 と その正方形から1点を除いた正方形’の面積 ってことですね 数字自体は あるものの割合（％） とか 面積 であって あるものでは、ないです。 今の場合、正方形と正方形’ は違うものです。 でも面積は同じです。 これを 正方形なかの1点が正方形にしめる割合といってもいいですが あるいは、正方形’が正方形に占める割合といってもいい 正方形と正方形’が異なることからといって これを 1≠0.999‥‥ とはできないのです。 他の方は、1＝0.999‥‥を納得させるためのはなしをされてるので、私は、amluqhxさんの論法の間違いを指摘しておきます。基本的に１１と同じ内容です。 納得という観点からは 例えば、先ほどの正方形で 有理点 正方形を升目の用紙で書いて、（x、y） x、y、が有理数は の全体は 面積が０とか、 あと カントールの悪魔の階段とか そういう話を勉強されては？ って思います。
補足
ご回答ありがとうございます！ ご指摘がありました、 正方形の一点（長さ0）を取っても正方形の面積は変わらないという例えがありましたが その一点を無限回、正方形から取ってももちろん正方形の面積は一切かわりません、そして、取り出した無限個の一点から正方形の面積を作ろうとしてもいっこうに正方形の面積にはなりません0は0ですから。 しかし、赤玉無限個の中の、白玉一個を取り出したら赤と白それぞれどうなるでしょうか？、つまり赤の中から白を分離（取り出す）して割合を考えたら、赤玉は99.999‥‥％から無限個で100％になり、白玉は0.000‥‥％から1個で100％になります、0.000‥‥％だった白玉一個の存在は大きな意味を持ちます、取り出して白玉100％になるのです。 最初から赤玉が無限個で白玉が0個だった場合、白玉は取り出すことができないので白玉0％です、赤玉はもちろん100％です、白玉が取り出せないので、取り出した白玉で白玉の割合がいっこうに作れません0は0ですから。 正方形の一点の『0』と、赤玉無限白玉一個の白玉一個の『0.000‥‥』は異なりませんか？
補足、承りました。#17です。 >>つまり、自然数N＝{0,1,2,3,……}であると言って、間違いないかとうかです。 >‥‥と省略されていますし（笑）、言い尽くしている間違いない思います。 現在の数学では、{0,1,2,3,……}と無限個の数を並べ立てても、最低でも自然数のある一つの数が、その並べ立てた集合に含まれていないことが証明されています。 もし、無限大ということを扱うのであれば、その辺りも考慮されてはいかがかと思います。
- B-juggler
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Ｎｏ．１３です。役に立たない代数屋＾＾；です Ｎｏ．２さんが 説明していらっしゃいますので、σ(・・*)はこの辺で。 （∞ー１） や （１／∞） が 数学として成立しているのか？ と言う疑問なので、これはどうしようもないなぁ～と思うのです。 「赤玉に対する、白玉の割合」は、お互いに有限数の時に考えうることですのでね。 ＃これはダイジョウブだと思ったんだけど・・・。 ＃う～ん、これ見ると、ちょっと・・・。 Ｎｏ．１５さんへの補足なのですが。引用させてもらいますね。 ～～～ (1)『無限の赤玉の中に白玉1個という状態』は 赤玉99.999‥‥％ 白玉0.000‥‥％ ★ であり (2)『無限個の赤玉の中に白玉0個という状態』は 赤玉100％ 白玉0％ ★ であり ここで、 全てが赤＝赤100％≠全てが赤ではない＝赤100％未満 とすると、よって 赤100％（全て赤）≠赤99.999‥‥％（100％未満）（全てが赤ではない）である。 ということに正当性はあるでしょうか？ ～～～～ 引用終わりです。（文中に ★ をつけました） 正当性がありません＞＜ えっとね、この★の部分。片方は、完全にない ０ この状態。 片方は、一個ある。０．００００００・・・・・・０００００１ の状態。 この状態は、もう書き尽くされている感もありますが、 同じとみなして構わない ！ と言うやり方を取っているんですね。 赤が無限、白が有限（しかも極少）。なら無限に対しての割合は０としておこう。 約束事、と言えばそれまでなんですが、そうしますよ（＾＾；）と言う、 いってみれば暗黙の了解。 なんとなくいやだ！ と、思われるのなら、＝ ではなく、≒ でね。 ＃と、ずっとごまかしてきたんだけど。 ０．０００・・・・・・・・・・０００００１≒０ 大体同じなんだから、０でいいじゃん＾＾； 正直σ(・・*)もそんなものだと思いますよ。 (=^. .^=) ｍ（＿ ＿）ｍ (=^. .^=) σ(・・*)のところの補足もそうなんです。本質的には、同じ。 有限と無限の扱いです。
補足
ご回答ありがとうございます！ つまり、無限は演算に定義できないので、数学的に正当性をもってこの質問を議論することは困難だということなのですね、少し残念ですが…。 ANO11でご回答頂いたように、つまり、直感的に有限からの類推で無限を解釈しても、0＝0.000‥‥は数学的に成り立たつので、『0％なのに白玉1個が存在する』という直感と矛盾する結論になるということですね。 ご説明ありがとうございました。 ここからは全くもってくだらない話しだと思って頂いてけっこうです、数学の話しではないかもしれませんし、直感的な話しになりますがこんなことを考えてみました 赤玉∞個の中の白玉1個という状態から、白玉1個を取り去ると、赤玉だけになり、白玉0.000‥‥％から0％になると思います（もちろん数学的には0と0.000‥‥には違いはないと思いますが）、 それを式にするとすると 『分母が赤玉で、分子が白玉だとすると』 1／∞－1／∞＝0 になります つまり、 0.00…－0.00…＝0 ということになります、もちろん数学的には0と0.00…の差を定義できず引き算すら不可能かもしれませんが、『赤玉∞個の中から白玉1個を取り出す』という状況を考えると、数学的には不可能でも赤玉と白玉で考え、0と0.000…または0と1／∞に対し架空に想定した差を考えることができます さらに、『赤玉∞個の中に白玉が2個ある場合』そこから白玉1個を取り出す場合を式にすると 2／∞－1／∞＝1／∞ になります つまり、 0.00…02－0.00…01＝0.00…01 ということになります もちろん、数学的に0.00…02と0.00…01は大小が不確かであり両者に差を考え定義することは不可能ですが、『赤玉∞個の中の白玉2個から、白玉1個を取り去る』という状況を考えるならば、それに対応し0.00…02と0.00…01または2／∞と1／∞に対し架空に想定した大小差を考えることができると思います、0.00……とゼロが無限に続けば最後尾の1や2などもちろん存在しませんが無限の0のどこかに存在し見ることは不可能と想定し、赤玉と白玉で考えた今回の質問の結論から、『0％であることと存在しないことは同義ではない』それが『無限の性質』なのであると考えれば、そうであるならば『最後尾の1や2は、存在すると同時に存在しない』『差はあると同時にない』、0.00…02＝0.00…01または2／∞＝1／∞でもあり、0.00…02＞0.00…01または2／∞＞1／∞でもあるということになります、赤玉無限個の上に乗った白玉1個を確かに見ることができるという状況が、無限に続く0のどこかに、まさに架空の想定として存在する1や2を見ることができる状況だと思いました、赤玉無限個の中の白玉一個を取り去ることはまさに1／∞－1／∞＝0ではないでしょうか。 直感的で全くもってくだらない考えになりますが、これはどうなのでしょうか？