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『1＝0.999‥‥』を哲学してみました。
『1＝0.999‥‥』を赤玉と白玉を使って考えて哲学してみます。 (1)全部で玉が100個のうち、赤玉が100個で、白玉が0個ならば 全ての玉のうち 赤玉が100％ 白玉が0％ ということになりますので、つまり、玉が（全て赤）ということになります。 (2)全部で玉が100個のうち、赤玉が99個で、白玉が1個ならば、 全ての玉のうち 赤玉が99％ 白玉が1％ ということになりますので つまり、玉は（全て赤ではない）ということになります。 (3)全部で玉が∞個のうち、赤玉が∞個で、白玉が0個ならば 全ての玉のうち 赤玉が100％ 白玉が0％ ということになりますので つまり、玉は（全て赤）ということになります。 (4)全部で玉が∞個のうち、赤玉が∞個で、白玉が1個ならば 全ての玉のうち 赤玉が99.999‥‥％ 白玉が0.000‥‥％ ということになりますが 赤玉が∞個あっても、白玉が消えるわけではないので、白玉が1個ありますので つまり、玉が（全て赤ではない）ということになります。 ここで、 全て赤＝赤100％ 全て赤ではない＝赤100％未満 とします 全て赤＝全て赤ではない は成り立ちませんので つまり、先程の結論の、(3)は（全て赤）で、(4)は（全て赤ではない）ですので (3)と(4)は結論がイコールにならないということになります また、(3)は全て赤＝赤100％ 、(4)は全て赤ではない＝赤99.999‥‥％（100％未満） ですので このように、玉が全て赤か否で考えると 赤100％＝赤99.999‥‥％も同じく成り立たないということになります 両辺を100で割れば 1＝0.999‥‥となりますが やはり、このような玉を使い、全て赤か、全て赤ではないかというような考え方で哲学してみると、 1＝0.999‥‥も同じく成り立たたないと思います。 つまり単純に、いくら赤が無限個あっても、白1個の存在を消すことはできませんので、白が0.000‥‥％であっても、白1個が存在しますので 白0％＝白0.000‥‥％ も同じく成り立たないように思います。
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- kabaokaba
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No.14です やっぱり・・・1/∞ですか・・・ いろいろ指摘されてるし，私も指摘したんですが・・・ 1/∞っていう「操作」そのものがダメなんですよ． 話を数学に限定しましょう 1,0,0,0,...,0,0,... 最初だけ1で残り全部0が続く数列をとって この中で，1が一つだけあるから このなかで「0の個数の割合」は，1ではありえない 一方で，「0の個数の割合」は「限りなく1に近い」すなわち0.9999....だ よって 1≠「0の個数の割合」=0.9999.... まとめるとこういうことでしょう？ さてさて・・・「0の個数の割合」ですが ここで「割り算」してますよね？ 1≠(∞-1)/∞=0.9999..... って計算ですよね． さてー，無限に対して「割り算」って定義されてますか？ さらに引き算もしてますよね． 無限に対して引き算・・・定義できますか？ 例えば，無限から1引いたってやっぱり∞だから ∞-1=∞ っていうのもありですよね？ そうすると 1=∞/∞=(∞-1)/∞=0.9999..... あれ？ それに ∞-1=∞ だったら∞を両辺から引いて -1=0 あれ？ ナイーブに∞を計算してしまうのはOKなのでしょうか？ こんなことを踏まえたうえで 繰り返しますが 「無限」って何でしょう？ 無限は「数」ですか？ 数だと仮定して・・・どうやって演算に組み込みますか？ 数だと仮定して，∞と他の数の大小はどう定めますか？ ================ 「0%のことは起こりうる」 確率でも確率でなくてもいい． 質問者氏のいうところの ∞個の赤球と一個の白球 一個あるのだから，白の割合は0ではない． これに対する言及です 白だまの割合は0%でもいい． 0%であるということは「存在しない」とは同義ではない ということです． これまた，直観とは相容れない，いやなところですが ∞を内包すると，こういうことは起こりうるんです （直観的で厳密性がない表現だというのは理解してください そもそも上でいってる1/∞をやってるようなものですから ある意味自己矛盾なのは，こっちも理解してます）
質問者様が無限大をどう考えておられるか、少し気になります。 一つだけ、こちらから質問することをお許し頂きたいと思います。 自然数Nは、0から始まるとし、1ずつ増える数ですね。 {0,1,2,3,……}という具合に、0から1ずつ増える数を無限大まで並べたとします。 もちろん、この集合は要素が無限大の個数ですから、その終わりの数というものはありません。 上記は、自然数を言い尽くしているとお考えでしょうか。 つまり、自然数N＝{0,1,2,3,……}であると言って、間違いないかとうかです。 もし、よろしければお教えくださいますと、幸いに存じます。
補足
ご回答ありがとうございます！ 数学の一般的な知識があまりないので、分からないのですが、 ‥‥と省略されていますし（笑）、言い尽くしている間違いない思います。
- ricardo_
- ベストアンサー率19% (14/72)
訂正 前回の投稿に誤りがありました 誤 １＋１＋１＋・・・ ＝ －１／１２ 正 １＋２＋３＋・・・ ＝ －１／１２
- ricardo_
- ベストアンサー率19% (14/72)
amluqhx さん、こんにちは 考える上でのヒントを差し上げましょう。 定義は一つとは限らない。１＞０．９９９・・・ と考えても、それに正当性があれば自由です。 「１／３＝０．３３３・・・」「π＝３．１４・・・」だって、「無限小数を使っても等しくない」という事も考えられます。 「聖書に書いてある事と矛盾する。だから天動説は間違いだ」と言う論法と同じで、「有名な数学者が言ってるから」「そんなの見たこと無い、本に書いてない」と言うような論法は良くない。 １＋１＋１＋・・・＝ －１／１２ と言うのを見かけますが、これはトリックです。もっと分かり易いトリックを紹介しましょう。 （Ａ） x = 1 + 1 + 1 + 1 + ・・・ （Ｂ） x = 1 + (1 + 1 + 1 + ・・・) （Ｃ） x = 1 + (最初の（Ａ）を代入) （Ｄ） x = 1 + x （Ｅ） 0 = 1 （Ｃ）の所で間違えています。 「無限に部屋のあるホテルが満室の時、隣の部屋に移動してもらえば、幾らでも新しい客を泊められる」と言う話を見掛けます。 これも間違えている。「曲率半径」と言う言葉が有ります。半径が無限大の円を考え円弧の部分をチューブに置き換えます。 チューブの中は赤い玉で充満されているとします。チューブの１個所を切り、そこに白い球を押し込みます。すると他端から赤い玉が出てきてしまいます。 だから満室ホテルには新しい客は入れません。 １０進整数で一番大きな数は次のように書けます。 ・・・９９９ ＝ ∞ 上位に９が無限に続くので∞に等しい。 しかし１を加えると、 ・・・０００ ＝ ０ となります。 １を加えて０になったので、∞ は －１ だったという事になります。 コンピュータでは、有限の桁数でこのような事をやっています。 このような事を考えると次の式のように「０」と「０の上位に無限に０が続くもの」が等しいのか疑問が出てきます。 ０ ＝ ・・・０ 矛盾を解決するのは、定義次第です。 （Ａ）どんな盾も突き通す （Ｂ）どんな矛も通さない ＡとＢが同時に成り立たないと言うのが矛盾です。ＡとＢそれぞれ別の世界なら成り立つのです。 しかしＡを絶対視して、Ｂは間違えていると言う論法が多いのではないでしょうか。 「絶対に正しい」と思っていた事にも、疑問を持たなければなりません。
お礼
ご回答ありがとうございます！ ＞定義は一つとは限らない。１＞０．９９９・・・ と考えても、それに正当性があれば自由です。 (1)『無限の赤玉の中に白玉1個という状態』は 赤玉99.999‥‥％ 白玉0.000‥‥％ であり (2)『無限個の赤玉の中に白玉0個という状態』は 赤玉100％ 白玉0％ であり ここで、 全てが赤＝赤100％≠全てが赤ではない＝赤100％未満 とすると、よって 赤100％（全て赤）≠赤99.999‥‥％（100％未満）（全てが赤ではない）である。 ということに正当性はあるでしょうか？
- kabaokaba
- ベストアンサー率51% (724/1416)
No.2だす んーー，ますます混迷（予想どおりだけどねー） まず，質問者氏は >数学では『1＝0.999‥‥』は証明されているかもしれませんが、 証明されてるのであればそれで終わりなんですよ． 感情的に納得とかそういう問題ではないわけで それが数学というよりも論理の厳しさですな． で，質問者氏は そもそもの「∞」ってものを 実にナイーブかつ無批判，くわえて 現実との整合性なしに考えている節があります． ぶっちゃけた話，現実世界に数学的意味でいうところの 「∞」は存在しません． したがって，「無限にたくさんの球」とか 「無限に深い井戸」ってのはそもそもありえない． どんなに深くたってたくさんであっても有限にすぎない． 99.99.....とどこまでも9が続くことはありえない． あえて誤解を恐れずにいうのであれば π（実際の円周の「長さ」）はどこかで途切れるし √2（一辺が1の正方形の対角線）だってどこかで終わる 測定誤差とか原子の個数とか量子化とかいろいろな問題が現実にはある． ぶっちゃけた話，「πや√2は有理数」ってのも 無限をなーなーで扱うと1=0.999....と同じにできるんじゃないかな というわけで。。。数学が現実を「モデル化」して 理想的な状態で議論している観点がおちてしまってるわけで， ∞はそのモデル化の最たる部分でしょうし， πや√2だって∞からみで数学的には「無理数」だっていうわけです． ＃数学が現実をモデル化した理想状態だというような言明は ＃ユークリッドあたりからすでにありますね まず， ・無限は数ではないので計算できない ・無限は数ではなく一種の状態ともいえる（既に指摘がある） ・0％の事象は実際には起こりうる（既に指摘がある） ・無限は現実世界には存在しない というようなあたりを考えてもらった上で 質問者氏がいうところも 無限個の球とか無限に深い井戸というところの 無限とは何かというのを明確にするのがよろしいかと． 感覚とは一致しないから1と0.999....が等しくないというのでしょうが これは逆で・・・感覚とは一致しないということ自体が 無限というものの「現実離れ」を象徴しているということ 現実には「数学的な無限は存在しない」ということを示していると 考えるほうがよいのでしょう． ちなみに・・・無限のいやらしさはいっぱいあるんだけども・・・ こういうのもあります ＃これがすでに指摘がある「εδ」のある意味では本質部分の一つ 実数aとbがある． a=bということと |a-b|=0 は同じこと． そしてある|a-b|が0だということは どんな正の数εをとってきても |a-b|<ε となること． これ納得できますか？ ＃巧妙に無限が隠蔽されてるけど無限が重要な役割を果たしてる 0ってのはどんな正の数よりも小さい 逆に，どんな正の数よりも小さい「0以上の数」は0だけ そうでしょう？ 0以上で0ではない数Xでどんな正の数εよりも小さい，0<X<ε なんて風にしたら，ε=X/2としたらアウト． どんな正の数にたいしても0<X<εなんて成り立たない． つまり「X=0」 さて，1と0.999......... 1-0.99.........ってどうなります？ この差って，どんなに小さな正の数をとったって それよりも小さいでしょ？ だって「0.999......」って途中で終わらないんだから． ということは 1-0.9999.....=0なんで1=0.9999..... ちなみに Ｎｏ．２へのコメントで聞かれたことは このコメントで全部答えてると思う．
補足
ご回答ありがとうございます！ おっしゃる通り無限は現実には存在しませんね、 数学が現実を『モデル化』して理想的な状態で議論しているとおっしゃられましたが、 私もそういう考えの元で最初から、「無限に深い井戸」や「無限個の玉」などを現実の中の話しではなく、理想的な状態（空想）の話しとしてこれらを考えていますから全く問題はないと考えています、 その上で、「無限個の赤玉の中に、一個の白玉がある状態とはどういうことか？」ということを考えると、白玉（1）赤玉（∞）であり 1÷∞＝0.000‥‥（無限に0が表記される）であるが しかし、それにもかかわらず、一個の白玉が確実に存在するとするなら、 『0.000‥‥（無限に0が続く）』と、全く1個も白玉がない『0』には違いがあるのではないかと考えます。 「0％の事象が起こりうる」とありますが、数学の確率の話しでしょうか？ 私の話しには確率の話しは出てきませんし、『無限個の赤玉だけ』と言った場合全て赤玉で、その中に白玉は一個も含まれていません、つまり、白玉は0です、白玉は0％です、どこからも白玉が出てくるという事象は存在しません。
- B-juggler
- ベストアンサー率30% (488/1596)
Ｎｏ．１，７ です。 あんまり充てにしないでね。 Ｎｏ．１２さんへの補足かな？ 井戸の中に赤玉がいっぱい。片方は白いのが一つ乗っているのが確認できるって言うの。 これは、１＝０．９９・・・・・ とは違うんじゃないかな？ これは、０＝０．０・・・・・・・・・・１ のほうじゃない？ 確実に白が一個あるのが分かっているのだから、赤の問題ではない気がします。 １＝０．９９９９・・・・・・・９・・・ と ０＝０．０００００・・・・・・・・１ とでは 意味が違っていますからね。 （∞－１） なのか （１／∞）なのか。 これは別物でしょう？ と、提起だけして置いて、専門の方お願いします。ｍ（＿ ＿）ｍ ＾＾； (=^. .^=) ｍ（＿ ＿）ｍ (=^. .^=)
お礼
ご回答ありがとうございます！ 確かに、赤玉無限個の中に白玉一個という状態は 『1／∞』ですね。 なので、赤玉に対する、白玉の存在の割合は0.000‥‥（0が無限に続く）％ですね、わかっている白玉の存在の割合から考えれば、白玉は有限であり、赤玉は無限なのですから赤玉の割合は99.999‥‥（9が無限に続く）％であると言えると思います。 なんだか疑うまでもなく、公理にすら思えてしまいます。
- windwald
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#8です。 「出てくる確率」を、「存在している比率」と言い換えたところで本質は何も変わっていませんよ。 やはりまだ「無限」を「とてつもなく大きいある数」だと誤解なさっています。 白玉が1個、赤玉の個数が真の「無限」であれば、赤玉の存在比は100％＝99.999…％です。
補足
ご回答ありがとうございます！ 数学では『1＝0.999‥‥』は証明されているかもしれませんが、 例えば想像してみて下さい、底無しの無限に深い井戸が二つありAとBとします、両方ともその井戸は無限個の赤玉で満たされているとします、Aの井戸は赤玉だけですが、Bの井戸の無限個の赤玉の表面には白玉がぽつんと1個置いてあるのが確認できます、 はたして、その光景を見て両方の井戸は全て赤玉しかないと言えるでしょうか、Aは全て赤玉、Bは全てが赤玉ではないと、違いがはっきりしていると言えませんか。 それが1と0.999‥‥のはっきりとした違いだと思います。
- eclipse2maven
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1＝0.999‥‥ は成り立っている。 ％ を 無限集合に定義しようとした。 有限の場合のアナロジーで直感的に定義しようとしたら 1％ ≠0.999‥‥％ になった。 1＝0.999‥‥ だから １％ ≠ １％ となるので、有限の場合のアナロジーで、直感的に定義はできない。 が、amluqhxさんの書かれた内容 ということでしょう。
- Rice-Etude
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他の回答者とは別な観点から回答させていただきます。 amluqhxさんは∞を「1個」や「100個」と同じ性質の数字と扱っていらっしゃいますが、∞はこれらとは同じ数字ではありません。 ∞はどういうものかというのを説明するにはなかなか難しく、数学を仕事にしている人でも見方が異なったりしますが、私が数学を知らない人に説明するときは（これも正確な表現ではないと思いますが）「数字ではなく状態を示す物」と言います。少なくとも通常の数値で行える四則混合演算を適用できない（例えば∞＋∞＝2∞とはならない）時点で、整数（あるいは実数）とはまったく違う「物」となります。 一方％を計算するときは、その計算式に入力する数値はどれも同じ性質の数字です。例えばご質問の(1)や(2)はすべて「玉の個数」ということで同じ性質（単位）であるため、％の計算が行えます。 以上から、(3)や(4)は∞という「『状態』あるいは『通常の整数とは違う物』」と「玉の個数」を混在させていますので、％の計算を行うことができないという結論になります。 蛇足ですが、最近「どうして1＝0.9999…なの？」という質問には「それは人間の表現力の限界で違って見えるだけ。人間が表記出来る物で世の中すべてを表現できているわけではないんだよ」と答えています。 ＃例えば1÷3＝0.333…と循環小数になっているように見えますが、これは十進法を取っているからで、同じ量での計算を3進法で計算すれば（この表記が正しいか議論の余地があることはさておき）1÷10＝0.1となります。このように、人間が一般的に扱っている表現法ではすべてのことを単一に表現できないことが多いです。
詳しくは立ち入りませんが、現行の数学が成り立つためには、1＝0.9999999……でなければなりません。 これが＝でなく≠であれば、直ちに、1/3≠0.3333333……などが多数出現し、少なくとも有理数は定義的に崩壊します。 ですので、既存の数学が受け入れられるものではありません。 ご主張のように定義するのであれば、それで整合性のある新しい数学体系を作るよりほか、ありません。 それが、既存の数学体系と整合性があるか、メリットがある、等々は、その新たな数学体系が未知ですので判断できません。
補足
ご回答ありがとうございます！ 無限を演算に組み込むと矛盾が起こることもご説明により分かりました、それを承知の上に、無限個の中の1個という状況を全く空想する事すらできない事態なわけではありませんので、 （有限の場合） 『赤玉が99個、白玉が1個なら』 赤99％ 白1％ になるなら （無限の場合(1)） (1)『赤玉が∞個、白玉が0個なら』 赤100％ 白0％ になると思います (1)では、数学的に100％は全てが赤玉ということであり、白玉は0個なので0％も正しく、数学的にも白玉は存在しないと言っていることになります (1)では、そして、無限個の赤玉の中に白玉は存在しないので、（全てが赤玉）だということも論理的に正当性があると思います （無限の場合(2)） (2)『赤玉が∞個、白玉が1個なら』 赤99.999‥‥％ 白0.000‥‥％ になるはずと思います (2)では、この無限の赤玉と1個の白玉の割合に関しては数学的には正当性があるとは言えないかもしれませんが、 (2)では、数学的には1＝0.999‥‥や0＝0.000‥‥に関しては正しいと証明されているとするなら、数学的には、全て赤玉でありまた、白玉は存在しないと言っていることになります (2)では、しかし、無限個の赤玉の中に白玉一個が存在していることは確実なので、全てが赤玉ではないことも論理的には正当性があると思います ここで (1)では、数学的にも論理的にも（全て赤玉であり）また、（白玉は存在しない）と結論が一致していると思います。 (2)では、数学的には（全て赤玉であり）また（白玉は存在しない）という結論でありますが、論理的には（全てが赤玉ではない）また（白玉は存在する）であり、結論が一致しません (1)と(2)の結論がことなるなら、つまり 数学的には 1＝0.999‥‥ は正しいが 論理的には 1≠0.999‥‥ というふうに等しくないという結論になるということでしょうか？