価格と個数を求める問題について質問させてください。
価格と個数を求める問題について質問させてください。
下記に解説を載せてあるのですが、「ゆえに、x=900-20k・・・イ」と「m=-1/2(900-20k)(900-20k-900)-4000k」の部分の意味がわからなく困っています。
別の解き方でも特に構いませんので、どなたか解説してもらえないでしょうか。
よろしくお願いします。
↓問題文
J商店が仕入れ価格1個400円の昼食用サンドイッチを販売している。このサンドイッチの1日の販売個数は販売価格の関数で、販売価格が1個500円のとき1日200個売れ、販売価格を値上げすると10円につき1日5個の割合で販売個数が減少し、また、値下げする時は、同じ割合で販売個数が増大するという。仕入れる個数は10個単位である。また、仕入れる個数は販売個数以上とし、売れ残りは廃棄するものとする。仕入れ個数を10k(kは自然数)とし、x円で販売するときの利益(販売総額から仕入れ総額を引いたもの)をy円とする。このとき、利益を最大にするときの仕入れ個数と販売価格はどれか。ただし、0<k≦22とする。
↓解説は以下
販売個数をnとすると、n=-5/10(x-500)+200=-1/2x+450・・・ア
よって、販売総額はnx=-1/2x^2+450xである。
x円で販売するときの利益y円は、
y=-1/2x^2+450x-4000k
=-1/2{x^2-900x+(450)^2}+1/2*450^2-4000k
=-1/2(x-450)^2+101250-4000k
また、条件より、n≦10k
アより-1/2x+450≦10k
∴x≧900-20k
ここで、0<20k≦22より、
0<20k≦440
460=900-440≦900-20k<900であるから
450<900-20kである。
ゆえに、x=900-20k・・・イ
で最大となるから
m=-1/2(900-20k)(900-20k-900)-4000k
=-200k(k-25)
=-200(k-25/2)^2+31250
となり、k=12,13のとき最大となり最大値は
-200*12*(-13)=31200円
で仕入れの個数は10k=120,130で、
販売価格は、それぞれ、x=900-20k=660,640
となり、ここで選択肢で当てはまるのは、130個と640円になる。