どうしても解けません…

質問

△ＡＢＣにおいてａ=√２，Ｂ=４５°，Ｃ=１０５°とする。
(1)Ａ，ｂを求めよ
(2)等式ｃ（二乗）－２ｃ－２＝０が成り立つことを証明しｃを求めよ

(1)は
Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝１８０°より
Ａ＝３０°
ａ/ＳｉｎＡ＝ｂ/ＳｉｎＢより
√２/Ｓｉｎ３０°＝ｂ/Ｓｉｎ４５°
ｂＳｉｎ３０°＝√２Ｓｉｎ４５°
ｂ＝√２×１/√２×２
ｂ＝２

と出たのですが(2)がどうしても出ません。。。
教えてもらえると嬉しいです。

また、
△ＡＢＣにおいて、ａ：ｂ＝（１＋√３）：２，
外接円の半径Ｒ＝１，Ｃ＝６０°のとき
ａ，ｂ，ｃ，Ａ，Ｂを求める。

これは全然わからなくて…教えてください。。

どちらか片方でも構わないです！！

回答No.2

fushigichan · ベストアンサー

kasumioneloveさん、こんにちは。

＞(1)は
Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝１８０°より
Ａ＝３０°
ａ/ＳｉｎＡ＝ｂ/ＳｉｎＢより
√２/Ｓｉｎ３０°＝ｂ/Ｓｉｎ４５°
ｂＳｉｎ３０°＝√２Ｓｉｎ４５°
ｂ＝√２×１/√２×２
ｂ＝２

この解法、非常にいいですね。
三角比の正弦定理を使っていますね。

a/sinA=b/sinBより
a/sin30°=b/sin45°
√2/(1/2)=b/(1/√2)
b=(1/√2)*√2*1/(1/2)=2なのでb=2でＯＫです。

ここでは、同じ正弦定理を使ってでは、求められないです。
sin105°というのが、ぱっと出ないからですね。
ここは、余弦定理を使ったほうがいいですね。

http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugaku1/sankaku/yogen/yogen.htm

b^2=c^2+a^2-2cacosB
を使いましょうか。

2^2=√2^2+c^2-2√2cos45°
4=2+c^2-2c
c^2-2c-2=0
という２次方程式が出てきました。

＞(2)等式ｃ（二乗）－２ｃ－２＝０が成り立つことを証明しｃを求めよ

が証明されたことになりますね。
あとは解の公式で、求めたらいいですね。
c>0に注意してください。

＞△ＡＢＣにおいて、ａ：ｂ＝（１＋√３）：２，
外接円の半径Ｒ＝１，Ｃ＝６０°のとき
ａ，ｂ，ｃ，Ａ，Ｂを求める。

これは、外接円の半径とは、
それぞれの頂点への長さなので、外接円の中心をＯとすると
ＡＯ＝ＢＯ＝ＣＯ＝１
ということですね。

正弦定理より、外接円の半径をＲとすると

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
でしたから、C=60°が分かっているので、

c/sin60°＝２
これを解いてまずc/(√3/2)=2
c=√3
のように出ますね。

あとは、a:b=（１＋√３）：２ですから
どちらかの文字を消去して、使えばいいのではないでしょうか。

http://www.geocities.co.jp/CollegeLife-Labo/5945/ichi4.html

参考URL：

http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugaku1/sankaku/yogen/yogen.htm

お礼

とてもよくわかりました。ありがとうございました！

回答No.3

kony0

最後の問題は、中学校の幾何に立ち戻って
AからBCに垂線を下ろした足をHとすると、
AC:CH:AH:BC=2:1:√3:√3
がいえます。（60度といえば三角定規⇒垂線引こう）
で、△ABHが直角２等辺三角形であることがわかれば（
以下略）

・・・高校になって三角比とか習うと、むしろこういう解法に目がいかなくなるでしょうし、きっと高校生的解法としては模範回答たり得ないのでしょうが。。。

お礼

なんとかできましたぁ！
ありがとうございました

回答No.1

noname#7289

計算するのがめんどくさいので、できなかったら、いってください。
(1)のやりかたで、cを求めてください。
解の公式を利用して、ｃを求めてください。
等しくなれば、証明とｃを求めたことになると思います。

下のは外接円とは、円の中心から頂点に向かって線を引くと二等辺三角形ができます。あとは、条件の比を利用して二等辺三角形の三角形を求めてください。

お礼

上の問題は解けました☆彡
あ…１個質問なんですが
Ｓｉｎ１０５°＝√６＋√２/４
というのを使ったのですがこれは定理というか
決まってるものなのでしょうか？？

下の外接円の問題はいまいちわかりません。。
もう少し教えてもらえますか？