積分

質問

∫√｛1-4（ｘ）＾２｝dx

これが分かりません。

ｘ＝sinθ/2　とおいて計算すると、θ/4　+　sin2θ/8　になりました。

θ＝sin(-1)2x 　を代入すると、よくわからなくなります。

どなたか、よろしくお願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

I=∫√(1-4x^2)dx
x=sinθ/2 (-π/2≦θ≦π/2)　とおくと
　dx=(1/2)cosθdθ
　√(1-4x^2)=√{1-(sinθ)^2}=cosθ
I=∫(1/2)(cosθ)^2 dθ
=(1/4)∫{1+cos(2θ)}dθ
=(1/4)θ+(1/8)sin(2θ)+C
x=sinθ/2 (-π/2≦θ≦π/2)なので
　sinθ=2x, θ=sin^-1(2x), cosθ=√{1-(sinθ)^2}=√{1-4x^2}
sin(2θ)=2sinθcosθ=4x√{1-4x^2}
従って
I=(1/4)sin^-1(2x)+(1/2)x√{1-4x^2}+C

回答No.1

noname#224896

ｘ＝sinθ/2とおくと，
ｄｘ＝(1/2)cosθdθ　←　ここをしていないみたいですね．

∫√｛1-4（ｘ）＾２｝dx
=∫(1/2)cosθ／√｛１-(sinθ)^2｝dθ
=(1/2)∫cosθ／cosθdθ
=(1/2)∫1dθ
=(1/2)θ+ C（Ｃは積分定数）

これで，解けますよ．