行列 固有ベクトル

質問

４×４の行列です

１ 1 3 2
-1 1 -2 -1
-3 2 1 1
-2 1 -1 1
この式の固有値が１を持つときの固有ベクトルの求め方で詰まってしまいました。
どなたかフォローお願いします。

回答No.4

alice_44

あ、ホントだ。「固有方程式」はナイねえ。
我ながら、寝ぼけた回答だな。
行列 A、固有値 k、固有ベクトル x に関して Ax = kx。
これを x について解けばよいのだけれど、
4 元 4 連立一次方程式が階数 2 でも
扱えますか？という話。
「四本も出てきて…」を見ると、階数以前に、
4 連立で既にギブアップなのかもしれない。
もしそうであれば、連立一次方程式の解き方かた、
特に「不定の場合」の解法を復習するとよい。
昔は中学で習ったのだが、今は高１辺りかな？

補足

なんか教えてgooって馬鹿ばっかだな。もうきかねーわ。

回答No.3

Tacosan

あれ? 「固有方程式」で固有値は求まるけど固有ベクトルも求まったっけ?

さておき, 「固有方程式が四つもたってしまい」とは具体的にはどのような方程式が立ったのですか?

回答No.2

alice_44

それでいいんだがな。
そこから先が上手くいかないように感じてしまうのは、
固有値 1 が重根であることに気づいてないからでは？
固有値が重根だと、固有ベクトルが一方向に決まらない場合もあるが、
その場合も、固有方程式を解きさえすれば
全ての固有ベクトルを求めることができる。
固有方程式の解空間が、その固有値の固有空間になる。
この例では、固有値 1 の固有空間は 2 次元だ。
答えを表記するには、固有空間の基底を一組挙げとけばいいかと。

補足

展開後に固有方程式が四つもたってしまいわけわかんなくなってしまいました

回答No.1

Tacosan

具体的には, どこまでできて, どこでどう詰まったの?

補足

AX＝λXの関係から
１　１　３　２
-1　１　-2 -1
-3 2 1 1
-2 1 -1 1
に
x１
x２　
x３
x４
をかけたて展開したところまでいきました