クオータニオンに、「０」の解は存在するのですか

質問

ずぶの素人です

クオータニオンの式を計算した場合
解が「０（零）」になることは有り得ますか
無いと思っていたのですが
複素数だからあるのかなあ

それと、クオータニオンについて知るには
どんな方面の方にお聞きすればよいでしょう

宜しくお願いします

回答No.4

grothendieck · ベストアンサー

式は「方程式」と「恒等式」を区別してください。

方程式：変数が特定の値のときしか成り立たず、その値を「解」と呼ぶ
例：(x-1)^2 = 0　（x=1でしか成り立たない）
恒等式：変数がどんな値でも成り立つ
例：(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2　（aとbが四元数のように非可換ならば成り立たないが）

2×3=6
のようなものは定数項のみからなる恒等式と見なすべきでしょう。
さて四元数同士の四則演算した結果、０になることはありえます。例えば

　i×j = k
なので
　i×j - k =0
ところが、右辺の０はただの０ではありません。四元数は
　α+ βi + γj + δk　（α β γ δは実数）
の形をしているので、厳密には
　i×j - k =0+ 0i + 0j + 0k　
と書くべきなのですが、わずらわしいので通常は単に0と書いています。四元数が実数（1成分）の０と等しくなることはありません（というか、比較ができません）。a,bを四元数、0+ 0i + 0j + 0k をO
で表すと
　a + O = a
　aO = Oa = O
なので実数の0と似ていますが、ab = O ならば　a=O または b=O は成立しません。
四元数は廃れていましたが、最近復活してきています。
Geometric Algebra for Physicists [Paperback]

参考URL：

http://world.std.com/~sweetser/quaternions/qindex/qindex.html

お礼

ありがとうございました
勉強になりました
四元数の計算は
きまりを限定（って言うのかな？）すると解ける
そして、実数とは違う世界の数だから「比較ができない」
でも、ちゃんと使えるし意味がある
不思議な数で、すごくわくわくしました

回答No.3

Knotopolog

下記のサイトで，クオータニオンについて，かなりのところまで知ることが出来ます．

四元数（しげんすう；quaternion；クオータニオン）出典：wikipedia
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%82%AA%E3%83%BC%E3%82%BF%E3%83%8B%E3%82%AA%E3%83%B3

覗いて見ては如何でしょう．

お礼

ありがとうございます
参考になりました
四元数を計算する中で
「０」の場合もあり得るということなのでしょう
ぼんやりしてまだ分からないけど
定義とかもっとしっかり理解しようと思います

回答No.2

stomachman

質問の内容が内容だし，「式を計算」して出るものを「解」なんて呼ぶ．さては，数学の基礎がまだ出来ていない中学生？
　自ら学ぼうという姿勢は大変立派だと思うが，四元数について学ぶ前に高校レベル程度の数学はきちんとやっておかんと「ずぶの素人」にも届かないですぞ．

> それと、クオータニオンについて知るには

「四元数(しげんすう)」という標準的な用語を使うことが最も重要なコツだろう．基礎としては非可換体の話が載ってる一般代数の教科書を見つけて，丁寧にやってくのが良さそうです．
　もし空間の回転や曲面を扱う手段として四元数を学ぼうというであれば，四元数体の上で解析学(微積分)ができなきゃならん．なお，行列の代数で代用することもできる(準同形になる)わけで，用途によっては却って不便と言われるかも知れない．

お礼

ありがとうございます
僕は中学生ではありません
質問は幼稚だったかもしれませんが
高校まではまだ間があるし、もらった高校の教科書には載ってないし
親や学校の先生に聞いても分からないので、困ってここに投函しました

微積分や行列を勉強中なので
高校数学の勉強をもう少しやってから
クオータニオンに取り組んでみます

　stomachmanさんに質問してもいいでしょうか
「式」とは「方程式」のつもりでしたが
「式を計算」して「xやyやz」の答えとして出るものを正式に何と言うのですか
よかったら教えて下さい

回答No.1

Tacosan

?
1-1 は 0 だけど....

お礼

ありがとうございます
つまり「０」になることもあるということを
説明されているのです…か…？
「０」になってもいいという事ですか？
そうだとすると
クオータニオンと呼ばれる数の概念を使った式が
この世に存在していて
それは計算できるものなんですね
でもよく分からない
ごめんなさい