式を教えて下さい

質問

厚さ50μのフィルムを外径70mmの紙管に1000ｍ巻いた時の直径(紙管径も含めた)を求めたいのですが、式を教えて下さい。

回答No.2

rnakamra

横から見たフィルムの面積を考えればよい。

求める外径をD[mm]とすると横から見たときのフィルムの部分の面積Sは
S=πD^2/4-π*70^2/4 [mm^2]

また、Sは厚さ50μm,長さ1000mのフィルムの側面の面積だから
S=0.05×1000×1000 [mm^2]

二つの式からSを消去すると
πD^2/4-π*70^2/4＝50000
D=√(70^2+200000/π)

となります。

回答No.1

DJ-Potato

ｎ周巻いた時のフィルムの厚さは50×ｎ[μm]なので、紙管径を含めて70+0.05n[mm]ですね。

ｎ周目のフィルムの長さは、半径が70+0.05(n-1)[mm]の2π倍なので、2π{70+0.05(n-1)}[mm]です。
２π{70 + n/20 - 1/20}
= π/10・{1399 + n}

なので、１周目からｎ周目までのフィルムの長さの和は
Σ[k=1～n] π/10・{1399 + k}
= 139.9π・Σ1+0.1・π・Σk
= 139.9π・n + 0.1・π・1/2・ｎ・(n+1)
= 139.9π・n + 1/20・π・ｎ^2 + 1/20・π・ｎ
= 1/20・π・ｎ・(ｎ + 2799)

1000[m]=1000000[mm]巻くので

1/20・π・ｎ・(ｎ + 2799) = 1000000
n^2 + 2799n - 20000000/π = 0

解の公式で解けるけど面倒なのでエクセル辺りで計算してもらって、
ｎ ≒ 1485.773
1485周と3/4周巻けるようです。

1/4周分は直径144.25[mm]
3/4周分は直径144.30[mm]

どっか計算間違いしてたらごめんなさい。