物理I 摩擦力を介した２物体の運動 水平面に対して

質問

角θ傾いた広い斜面がある。図のように，斜面上に質量m1の平面Aをおき，さらにAの上に質量m2の小板Bをおき，両者が動かないように支えておく。支えを静かにはずした
とき，斜面の上をAが，またAの上をBがそれぞれ下方にすべり出した。斜面とAの間，およびAとBとの間の動摩擦係数をそれぞれμ1，μ2とする。

（２） 斜面に平行な方向のAの加速度を求めよ。

（３） すべり出してからt秒後に，BがAの上を移動した距離ｌを求めよ。


それぞれの問いの答えをお教え下さい。

※（１）が飛んでる気がするのですが...もし回答に足りなければおっしゃって下さい。

回答No.1

Quarks · ベストアンサー

力が錯綜しているので、迷わないように。

斜面に沿って下向きにｘ軸，斜面に垂直で左上向きにｙ軸を取ってみる。

順序が逆のように思うかも知れないが、まずは、最も上に載っているＢについて考える（解析が楽になるから）。
Ｂに作用している力は、接触しているＡから受ける接触力と自身の重力（遠隔力）しかない。
Ａから受ける接触力は
垂直抗力　Ｎ２（ｙ軸方向）
動摩擦力　－μ２・Ｎ２（ｘ軸の負の向き。Ａ上を左下に向かって下がっているので、動摩擦力は、これを妨げる向きに働くはずだから）
Ａも動いているから、摩擦力はその影響を受けそうに思うかも知れないが、動摩擦力は、物体の速度とは無関係なので、Ａの運動を組み込む余地は無い。
重力　ｍ２・ｇ　鉛直下向き。
ｘ，ｙ軸方向の成分に分けると
ｘ軸方向成分＝ｍ２・ｇ・sinθ
ｙ　〃　＝－ｍ２・ｇ・cosθ

加速度は斜面に沿って下向きつまりｘ軸方向に生じるので、これをβとすると、運動方程式は
ｍ２・β＝ｍ２・ｇ・sinθ－μ２・Ｎ２

ｙ軸方向では力が釣り合っているので
Ｎ２－ｍ２・ｇ・cosθ＝０　∴　Ｎ２＝ｍ２・ｇ・cosθ

これを使うと、運動方程式は
ｍ２・β＝ｍ２・ｇ・sinθ－μ２・…
∴β＝…

Ａに作用している力。接触力は
床からの垂直抗力　Ｎ１（ｙ軸方向）
床からの動摩擦力　－μ１・Ｎ１（x軸の負の向き。Ａの運動を妨げる向き。）
Ｂからの垂直抗力　－Ｎ２（ｙ軸の負の方向の力。ＡがＢから受ける垂直抗力の反作用なので、同じ大きさで向きが逆）
Ｂからの動摩擦力　μ２・Ｎ２（ｘ軸の正の向き。ＡがＢから受けた動摩擦力の反作用なので、同じ大きさで向きは逆）

自身の重力（遠隔力）　ｍ１・ｇ　鉛直下向き。
ｘ，ｙ軸方向の成分に分けると
ｘ軸方向成分＝ｍ１・ｇ・sinθ
ｙ　〃　＝－ｍ１・ｇ・cosθ

加速度は斜面に沿って下向きつまりｘ軸方向に生じるので、これをαとすると、運動方程式は
ｍ１・α＝μ２・Ｎ２＋ｍ１・ｇ・sinθ－μ１・Ｎ１

ｙ軸方向では力が釣り合うから
Ｎ１－Ｎ２－ｍ１・ｇ・cosθ＝０
Ｎ２＝ｍ２・ｇ・cosθ　だったので
Ｎ１＝ｍ２・ｇ・cosθ＋ｍ１・ｇ・cosθ＝(ｍ１+ｍ２)・ｇ・cosθ

これらを使うと、運動方程式は
ｍ１・α＝μ２・ｍ２・ｇ・cosθ＋ｍ１・ｇ・sinθ－μ１・(ｍ１+ｍ２)・ｇ・cosθ
＝ｇ{ｍ１・(sinθ-μ１・cosθ)＋ｍ２・cosθ・(μ２－μ１)}

∴α＝ｇ{(sinθ-μ1・cosθ)＋(ｍ２/ｍ１)・(μ２－μ１)・cosθ}

ＡからＢを見たときの相対加速度γは
γ＝β－α
＝ｇ(sinθ－μ２・cosθ)－ｇ{(sinθ－μ1・cosθ)＋(ｍ２/ｍ１)・(μ２－μ１)・cosθ}
＝((ｍ１+ｍ２)/ｍ１)・(μ１-μ２)・…

ＢがＡに対して、滑り降りる距離Ｌは(1/2)γ・ｔ^2　だから
Ｌ＝(1/2)・…・ｔ^2

お礼

詳しい回答ありがとうございます。