微分方程式について

質問

高校生です.
同内容の質問もあったのですが，　どうも納得できなかったので投稿させていただきました.

問　(f(x)+f'(x))sinx=f(x)cosx を満たすf(x)を求めよ

これについて解答を考えてみたのですが,　しっくりきません
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[1]　定数関数f(x)=0 はこれを満たす.

[2]　この関数のf(x)=0を満たすxとsinx=0であるx以外の部分について考えると, 与式より
　　　　f'(x)/f(x)=(cosx/sinx)-1
　　　両辺をxで積分して
　　　　loglf(x)l=loglsinxl-x+C (C: 任意の定数）
　　　これを変形し,　±C=A (A≠0）とおくと
　　　　f(x)=Ae^(-x)sinx　が得られる.　ただしf(x)≠0, sinx≠0 より　x≠nπ　（nは整数.）
　　　ここで, x=nπのとき,
　　　　f'(nπ)sinnπ=f(nπ)(cosnπ-sinnπ)からf(nπ)=0が得られる
　　　よってすべてのxでf(x)=Ae^(-x)sinxを満たす.

ここで, [2]についてA=0とすると, [1]で求めたf(x)=0 も表せる.
よって, この微分方程式は十分にf(x)=Ae^(-x)sinxを解として持つ.
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[1]で, (i) f(x)=0 であるf(x)で (f(x)+f'(x))sinx=f(x) と　f(x)=0　は同値
[2]で,　(ii) f(x)≠0かつsinx≠0　であるxで　(f(x)+f'(x))sinx=f(x)　と　f(x)=Ae^(-x)sinx　は同値
　　　　(iii) sinx=0 　　 であるxで f(x)=Ae^(-x)sinx と　(f(x)+f'(x))sinx=f(x)　は同値

が示せていると思うのですが, これで(f(x)+f'(x))sinx=f(x)　と　f(x)=Ae^(-x)sinx　が同値になっている気がしません.
(ii)での穴は(i)と(iii)で埋まっているのか不安です.

これでOKなのならその理由を、　ダメなのならどのような確認が必要なのか　教えていただけるとうれしいです。
よろしくお願いします。

回答No.6

FT56F001 · ベストアンサー

f(x)=A(x)e^(-x)sinx　とおいてA(x)の性質を調べてみます。
　(f(x)+f'(x))sinx=f(x)cosx に代入します。
f'(x)=A'(x)e^(-x)sinx　-　A(x)e^(-x)sinx　+　A(x)e^(-x)cosx
f(x)+f'(x)=A'(x)e^(-x)sinx　+　A(x)e^(-x)cosx
ですから，
微分方程式左辺=A'(x)e^(-x)(sinx)^2　+　A(x)e^(-x)cosx*sinx
微分方程式右辺=A(x)e^(-x)sinx*cosx
より，A'(x)e^(-x)(sinx)^2=0
となります。ここでe^(-x)>0なので割ってよいのですが，
sinxは0かもしれません。すなわち，
A'(x)(sinx)^2=0
となります。ほとんどの点でA'(x)=0なので，
A(x)は定数だといいたいところですが，
x=0,π，2π，3π・・・のsinx=0となる点ではA'(x)の値が規定されません。
すなわち，A(x)は区分的に定数で，x=0,π，2π，3π・・・で
ジャンプしてもよい，というのが私の理解です。

例えば，符号関数{sgn(y)=+1　y>0，sgn(0)=0，sgn(y)=-1　y<0}を使って
A(x)=sgn(sin　x)とおいた解，
　f(x)=e^(-x)|sin x|
も，広い意味の解になります。
x=0,π，2π，・・・でグラフが折れ曲がるため，
通常の意味の微分はできませんが，
微分係数は有界なので，sin(x)を掛けると0になります。

お礼

詳しい説明ありがとうございます。

様々な意見を参考に,もう一度自分で考えてみたいと思います。
どうも有難うございました.

回答No.5

noname#171582

微分方程式
(f(x)+f'(x))sinx=f(x)cosx ・・・・（１）

の時、其の解はｆ(x)=Ae^(-x)sinx・・・（２）
となる。

（１）式と（２）式は同値である。
なぜなら、

(i）A=定数であって

(ii）A(x)ではないからである。

解を求める過程の中で、”A”は積分定数として
出てくる。A(x)として出てこない。

積分関数A(x)ではなく、それよりもはるかに強い条件、
制約の”A＝積分定数”となっている。

故に、微分方程式（１）と其の解（２）は同値である。

お礼

ありがとうございます。
確かにそのような気もします。

回答No.4

noname#171582

(f(x)+f'(x))sinx=f(x)cosx ・・・・（１）

（１）式へf(x)=Ae^(-x)sinx・・・（２）を代入しても
＝０にならない。つまり式を満たさない。

本当に（２）式は微分方程式（１）の解なの？

お礼

ご指摘ありがとうございます。
(2)⇒(1)が言えているか、ということですよね。

f(x)=Ae^(-x)sinx　これを微分して　f'(x)=-Ae^(-x)sinx+Ae^(-x)cosx
これらより、(f(x)+f'(x))sinx-f(x)cosx=(Ae^(-x)cosx)sinx-Ae^(-x)sinxcosx=0
だから(1)は十分に言える・・・と思うのですが、いかがでしょう。

回答No.3

noname#171582

高校生にしては、はるかに難しいことをやっていますね。
興味があるのなら、ドンドンやりましょう。

（i）
A=常数
のとき

(ii）
A(x)＝関数
の場合にわけて、考える。

0階の微分方程式かな？

お礼

考えようとしましたが、なかなか難しそうです・・・。

大学で微積分学を習うのを楽しみにしようと思います.
ありがとうございました。

回答No.2

FT56F001

> Aが定数じゃない関数でもとの式を満たすものもありそうな気がします。
> [2]で,　(ii) f(x)≠0かつsinx≠0　であるxで　(f(x)+f'(x))sinx=f(x)　と　f(x)=Ae^(-x)sinx　は同値

f(x)≠0かつsinx≠0かつ(f(x)+f'(x))sinx=f(x)cosxならば，
f(x)=Ae^(-x)sinxで，Aは一定値が言えています。

例外があるとすると，sinx=0あるいはf(x)=0の点の上です。
Aが定数でない解は，病的な微分を許せば，作れます。

A(x)を，ほとんど一定で，x=0,π，2π，・・・で不連続に変化する関数とします。
たとえば，π毎に増える階段関数
A(x)=int(x/π) {int(y)はy以下の最大の整数}
とすると，
0≦x<π　　で　A(x)=0
π≦x<2π　で　A(x)=1
2π≦x<3π で　A(x)=2
・・・
がその例です。

これを用いて，f(x)=int(x/π)e^(-x)sinx　とf(x)を定義します。

すると，拡張した微分の意味で
(f(x)+f'(x))sinx=f(x)cosx
を満たす，と言えます。

x=nπ(n=0,1,2,3,・・)のとき，
f'(x)=lim[h→0]{f(x+h)-f(x)}/h は一定値に収束ませんが，
f'(x+0)=lim[h→+0]{f(x+h)-f(x)}/h = n×cos(nπ)×e^(-nπ)
f'(x-0)=lim[h→-0]{f(x+h)-f(x)}/h = (n-1)×cos(nπ)×e^(-nπ)
ですから，有界な範囲に入ります。
(従来の意味では微分係数f'(x)は存在しない，と言います。)

元の微分方程式
　(f(x)+f'(x))sinx=f(x)cosx
の左辺は，x=0,π，2π，・・・で，
f'(x)の値は決まらないものの，どうせ有界ですのでsin(x)=0を掛けてしまえば=0となります。
右辺は， x=0,π，2π，・・・にてf(x)の中のsin(x)が0になるので=0となり，
等式としては成り立っています。

行儀の悪い解なので，
「そんな，いいかげんな微分は数学ではない」と言う意見もあるとは思いますが，
質問者さんの疑問から思いつきました。

お礼

高校レベルの数学の知識しかないので、「拡張した微分」についてなかなか見えてきません・・・
でも、やはり考えようによってはf(x)=Ae^(-x)sinx（A定数）以外の解もあるのですね。

大学に行ったら、詳しく勉強したいです。
ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

単純に
f(x) = Ae^-x sin x が (f(x)+f'(x))sin x = f(x) cos x を満たす
ことを言えば十分じゃないのかなぁ.

お礼

ありがとうございます。

それではこの微分方程式がf(x)=Ae^(-x)sinxで表わせない解を持つ可能性が否定できないと
思うのですが、いかがでしょうか。

たとえば確信はありませんが、Aが定数じゃない関数でもとの式を満たすものもありそうな気がします。