力学について教えてください

質問

下記、図１の様に回転軸A◎、重心位置M●と直角に力積Φを加えた場合は、図２の様に同じ距離にΦを加えた場合と同じと考えれるのでしょうか？

図１
　　　　　　　　　Φ→
　　　　　　　　　　　｜

　　　　　　　　　　　｜

◎-------------●

図２

　　　　　　　　　　　　　　　　　Φ

　　　　　　　　　　　　　　　　　↓

◎-------------●　―　―

回答No.2

yokkun831 · ベストアンサー

回転軸周りの運動方程式を立てるなら，そのような方針でよいと思います。
そして，回転軸周りの運動方程式は，重心運動を含みますから，それ１本ですむはずです。

ところで，図１の場合に重心運動の方程式の右辺（力）は，力積の作用時間Δtとして平均Φ/Δtと，軸から受ける抗力があります。重力は無視できるとして，軸から受ける抗力の上成分Ny，右成分Nxとおくと，重心は右には動けないので

Nx = -Φ/Δt

重心の上下方向の運動方程式は，

My'' = Ny

重心まわり慣性モーメントIgとして，重心まわりの回転の運動方程式は右回りを正として

Ig ω' = ΦR cosθ/Δt + NyR sinθ
すなわち，
Ig ω = ΦR cosθ + NyR sinθΔt

ここで y'' = -R sinθ・ω' より

Ny = -MR sinθ・ω'

∴Ig ω = ΦR cosθ - MR^2 sin^2θ・ω
∴(Ig + MR^2sin^2θ)ω = ΦR cosθ

軸周りの慣性モーメントは

I = Ig + MR^2sin^2θ

なので，

Iω = RΦ cosθ

に一致しました。

何をしたかというと，

重心運動方程式　＆　重心まわり回転方程式　⇔　軸まわり回転方程式

が確認されたということです。

お礼

すごい細かく説明していただいたおかげで理解することが出来ました。
親切に有難うございます。
これを参考に力学の知識をもっと勉強したいと思います。

回答No.1

yokkun831

重心との距離が同じということでしょうか？

図１は重心から上へある距離にある点を作用点とし，
図２は重心から右へ同じ距離にある点を作用点とする

であってますか？
もし，そうであれば，重心まわりのトルク（力のモーメント）は同じですが，重心への力の方向が異なるので当然異なる運動になります。重心まわりの慣性モーメントに対する回転の方程式は同じとしても，重心の運動方程式が異なることになるからです。

回転軸まわりの慣性モーメントに対する回転運動方程式をたてるのならば，回転軸まわりのトルクを考えなければなりません。図１と図２とでは回転軸まわりのトルクは全く異なります。

お礼

回答ありがとうございます。
確かに重心の運動方程式が異なるので、図２として考えるのは間違いですね。
回転軸周りのトルクで考えるということは、回転軸と力点距離をＲ、回転軸の円周方向の力積をΦ*COSθとすると、
　・I*ω=Ｒ*Φ*COSθ
となるのでしょうか。（I：慣性モーメント、ω：角速度）

また、重心の運動方程式は、どのように考えればよいのでしょうか？