判断推理の質問です

質問

Aがサッカーのシュート練習を行う。Aは平均すると３回に１回の割合でゴールを決めることがわかっている。このときAが５回けって４回ゴールを決める確立はいくらか。ただし１回ごとのボールをける行為はそれぞれ独立である。

という問題なのですが、３回に１回の割合でゴールを決めるということで1/3,そして５回けるということなので1/3×1/3×1/3×1/3×1/3＝1/243だと思ったのですが回答は10/243でした。どうしたらこの確立を導き出せるのでしょうか？
ご回答のほうよろしくお願いいたします。

回答No.4

ilnmfay · ベストアンサー

『判断推理』って何かと思ったら公務員試験の類のものですね。

この問題は、高校数学でいうところの
・単元：確率
・問題の種類：反復試行
にあたります。

『反復試行』でググッてみていただくと解説がたくさん載っているかと思われます。

少し解説いたします。
質問者様の論理では、
・ゴール決める確率：(1/3)
・蹴る回数：５回　
の２点より
1/3×1/3×1/3×1/3×1/3＝1/243　

ということですが、
『５回中４回ゴールを決める』の『４回』が考慮されておりません。

では、どのように考慮するか？
[補足]-----
※今後、解説のために以下の表記を使います。
ゴールを決める⇒○
ゴールをはずす⇒×

５回の結果を左から
××○○○（1,2回目ははずし、3,4,5回目はゴールを決めた）
のように表現します。
------------

５回中４回ゴール決めるパターンは
○○○○×
とか
○○×○○
とか
いくつかパターンがありますが、
パターン一つ一つの確率は、(1/3)*(1/3)*(1/3)*(1/3)*(2/3) = 2/243です。
（最後の2/3は　ゴールをはずす確率）
これで、「4回ゴール/1回はずす確率」を考慮したことになります。

でパターンは合計以下の計５パターン。
(1)○○○○×
(2)○○○×○
(3)○○×○○
(4)○×○○○
(5)×○○○○

(1)～(5)はそれぞれ2/243の確率で発生しますので、
『5回中4回ゴールが決まる確率』は　(2/243)*5 = 10/243
になります。

結構、はしょって解説しましたがいかがでしょうか？
反復試行をはじめて勉強したとか忘れているといった状態ですと、
この解説では、厳しいかもしれません。

もし分からなければ、
コインを2回トスした時の表裏の回数と確率について考えてみてください。

表→○　裏→×

全パターンは
○○　⇒　発生確率　1/2 * 1/2 = 1/4
○× ⇒　発生確率　1/2 * 1/2 = 1/4
×○　⇒　発生確率　1/2 * 1/2 = 1/4
××　⇒　発生確率　1/2 * 1/2 = 1/4
の計4パターン。

これを考慮すると、
表が2回でる確率は　1/4
表が1回でる確率は　1/2
表が0回でる確率は　1/4
です。

では、応用してコイントス3回の場合は？
○○○
○○×
○×○
○××
×○○
××○
×○×
×××

全８パターン。それぞれ発生確率は、1/2*1/2*1/2 = 1/8

表３枚 →　1/8
表２枚 →　3/8
表１枚 →　3/8
表０枚 →　1/8

話をサッカーに戻すと
今回は、
○○○○×　⇒　発生確率　(1/3)*(1/3)*(1/3)*(1/3)*(2/3) = 2/243
が５パターンあるので、2/243 * 5 = 10/243

が解答です。

最後にもう一つ付け加えますと,
・ある事象が起こる確率　p
・ある事象が起こらない確率　1-p 　
の時、（コインの表 p ,裏が1-pのように）

その事象がn回中r回起こる確率は、

nCr * p^r * (1-p)^(n-r)

になります。

nCr は　上記解説では、『何パターンあるか』を示し、
p^r * (1-p)^(n-r)　は 『パターンごとの発生確率』を示します。

nCrって何？っていう場合は、『数学　組合せ』でググッて見てください。

あとは、反復試行の参考URLを載せておきます。

以上になります。　
長文になりました。

もし反復試行をご存知であれば、『もうそんなこと知っているよ！』と過剰な説明だったかもしれませんし、
逆にあまり反復試行をご存知であれば、『うまく理解できない...』と説明不足な点が多々あるかと思います。（その場合は、高校数学でいう「確率」または「順列・組合せ」という
単元を復習する必要がございます。）

質問者様がどこまで理解されているのか分かりませんでしたので、例も含めて解答させて頂きました。

参考になれば幸いでございます。
それでは失礼いたします。

参考URL：

http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugaku1/kakuri2/2kou/2kou.htm

お礼

ご回答のほうありがとうございます。またお礼が遅くなって大変申し訳ないです。
わかりやすい回答のほうありがとうございました。恥ずかしながら、反復試行は存じ上げませんでした。またわかりやすいウェブサイトのリンクもありがとうござます。参考にさせていただきます。おかげで解決いたしました。

回答No.3

nishiguchi13

１）まずAは「Aは平均すると３回に１回の割合でゴールを決めることがわかっている。」ですので、ゴールを決める確率は３分の　　１で、ゴールを決めない確率は３分の２ですよね。

２）次にAは何回目でゴールを決めないのでしょうか？１回目かもしれませんし、２回目かもしれない・・・
　　そう考えていくと、全部で５通りありますよね？

３）（２）の５通りに対してそれぞれ｛（１／３）＾４｝｛（２／３）＾１｝が掛かります。かっこよく書くなら、
　　５C１｛（１／３）＾４｝｛（２／３）＾１｝ですね。組み合わせのはいった確率の問題です。

４）（３）を計算すると10/243となります。

勉強かんばってください。

お礼

ご回答のほうありがとうございます。またお礼が遅くなって大変申し訳ないです。
わかりやすい回答のほうありがとうございました。おかげで解決いたしました。

回答No.2

noname#208392

5回けって4回決める確立でしょう？
1/3×1/3×1/3×1/3×1/3＝1/243
これじゃ、5回けって5回決める確率じゃん。

4回きめるのはこう計算します(○が決まった場合、×は外した場合)
1回目○、2回目○、3回目○、4回目○、5回目×
1/3×1/3×1/3×1/3×2/3＝2/243

でもこれだけじゃないです。
1回目○、2回目○、3回目○、4回目×、5回目○
1回目○、2回目○、3回目×、4回目○、5回目○
1回目○、2回目×、3回目○、4回目○、5回目○
1回目×、2回目○、3回目○、4回目○、5回目○
と全部で5通りの決めた方があります。
それぞれ確率は2/243 だから、5通りの確率を全部足して、10/243。

お礼

ご回答のほうありがとうございます。またお礼が遅くなって大変申し訳ないです。
わかりやすい回答のほうありがとうございました。おかげで解決いたしました。

回答No.1

B-juggler

こんばんは。まず漢字が間違ってますよ。

作り上げるわけじゃないですよ＾＾；

Ａさんがシュートを決める確率を　Ｐ（Ａ）　としておきますと、

Ｐ（Ａ）＝１／３　ですね

　＃三回のうち一回は入るわけですね。

５回けって、４回入る確率ですから、（１／３）＾５　（５乗です）

＝Ｐ（Ａ）　＾５　は、５回全部入る確率になりますね　Σ('◇'*)エェッ!?

一回外れますね。４回入るわけですから（５回のうち）。

外れるのは、１－Ｐ（Ａ）＝１－（１／３）＝（２／３）ですね。

後はこれがどこに出るかですよ＾＾；

１本目か、５本目か、どこか間か。　５箇所ありますね。

簡単に書くと、　

（１／３）＾４　×　（２／３）　×　５＝　１０／２４３　ですね。

厳密に書くと

Ｐ（Ａ）＾４　×　（１－Ｐ（Ａ））　×　5Ｃ1　となります。

難しいほうはどうでもいいです。　(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

公務員試験ですかね。がんばってください。ｍ（＿　＿）ｍ

お礼

ご回答のほうありがとうございます。またお礼が遅くなって大変申し訳ないです。
またご指摘のほうありがたいのですが、作り上げるという表記はどこにありましたでしょうか？
わかりやすい回答のほうありがとうございます。おかげで解決いたしました。