場合の数

質問

平面上に７個の点があって、どの３点も同じ直線上にないとき
２点を結ぶ直線は、何本できるか。また、これら７点のうちの
３点を頂点とする三角形は、何個あるか。

という問題なのですが、問題の意味からわかりません泣
問題の解き方や過程も含めて教えていただけるとありがたいです！！

おねがいします。

回答No.1

s1013129 · ベストアンサー

あなたが中学生だとして話をします
紙に書きながらのほうが簡単に理解できます。７角形のように点を並べてみてください。
【】の中は高校生１年以上向けの説明です

どの３点も直線状にないという条件をなぜつけたかというと
例えば点A,B,Cが直線状にあるとすれば、直線ABと直線BCと直線ACは同じ線になってしまうからです。
３点がずれていれば、別々の線と考えることができる、というだけの話なので、深く考えなくてもOKです。

・２点を結ぶ直線は、何本できるか
７つの点の中から２つを選べば１つの直線ができます
７つの点を、点A～点Gとしましょう

点Aから他の点へ引く線を順番に考えると、点A以外の６つを選べば良いから６本引けます
AB,AC,AD,AE,AF,AG,

同じように、点Bから引く線も６本、点Cからも６本・・・と考えていきます。
BA,BC,BD,BE,BF,BG
CA,CB,CD,CE,CF,CG
DA,DB,DC,DE,DF,DG
EA,EB,EC,ED,EF,EG
FA,FB,FC,FD,FE,FG
GA,GB,GC,GD,GE,GF

すると全部で４２本になります。７点から６本ずつ引けるから７×６＝４２本ですね
ここで注意！！　線ABと、線BAは同じですよね？重なっています。
線ACと線CAも同じです。すべての線が２重になっているので、先ほどの４２本を半分にしないといけません。
よって答えは２１本ということになります。

【７点の中から２点を選ぶから、組み合わせを考えて、7C2 = 21】

・これら７点のうちの３点を頂点とする三角形は、何個あるか。
前の問題で、２点を選ぶときは２１通りの組み合わせがあるとわかりました。
三角形を作るには、そこにもう一点追加すればよいわけです。
直線ABにもう一点Cを選ぶと、三角形ABCができます。

同じように考えていくと、直線ABから三角形
ABC、ABD、ABE、ABF、ABG
の５個ができます。点AとB以外の点はCDEFGの５つあるから、５個になるのです
直線は２１通りありましたね
２１通り×５個で１０５個の三角形ができることになります。
ここでまた注意です。三角形ABC、ACB、BCAは同じものなので三角形が３重になっています
すべての三角形が同じように３重になってしまっています。
よって１０５を３で割って３５通りが答えになります。

【７つの点から３つの点を選べば三角形ができるので、組み合わせより、７C3 = ３５個】

お礼

ありがとうございました！！

すっごくわかりやすい解説でした！！

助かりました