２段式すっとびボールの最適質量比

質問

すっとびボールというおもちゃがあります。スーパーボールをお団子のように重ねて，一緒に落とすと一番上だけとんでもなく跳ね上がるというものです。

http://www.urap.org/_forum/ashi/science/suttobi/suttobi.htm

「下のボールが上のボールの３倍の重さの時がもっとも効率がよい」という議論があります。

http://okwave.jp/qa/q5205403.html

これは，何か理論的に説明がつくものですか？　それとも経験的なものですか？　はたまた，ガセネタ？

初歩的な解析では，大小のボールの質量比が大きいほど（効率はともあれ）跳ね上がるという結果が得られると思いますが，はねかえり時間が有限であることを考えると，実験的に最適比が存在することは推測できます。一般に３倍で最適効率…という理屈をご存知でしたら，教えていただけませんか？

回答No.1

htms42 · ベストアンサー

＞「下のボールが上のボールの３倍の重さの時がもっとも効率がよい」という議論があります。

これは質問文に挙げられている２つ目のサイトの中に書かれていることですね。
これは「効率」という言葉の意味にポイントがあります。

衝突が起こると大きいボールＡと小さいボールＢの間でエネルギーの移動が起こります。
落下開始の時の高さと同じ高さのところまでＢが上がればエネルギーは同じです。
今は落下開始の時の高さよりも高いところまで上がることを考えていますから衝突によってエネルギーが増加していなければいけません。Ｂのエネルギーが増加していればＡのエネルギーは減少しています。エネルギーが保存する場合であればＡのエネルギーの減少量がＢのエネルギーの増加量に等しくなります。（これは反発係数が１の場合です。）
Ｂの貰うエネルギーの値は質量の比が変われば変化します。
衝突後の速度は上向きを正とすると
Ｖａ／Ｖｏ＝(Ｍ－３ｍ)/(Ｍ＋ｍ)
Ｖｂ／Ｖｏ＝(３Ｍ－ｍ)/(Ｍ＋ｍ)

Ｍ／ｍを大きくするとＶｂ／Ｖｏが大きくなります。最大値はＶｂ／Ｖｏ＝３です。
いくらＭ／ｍを大きくしてもこれ以上大きな速さで飛びあがるということはないのです。
速さは３倍になれば運動エネルギーは９倍になります。飛び上がる高さの最大値は落下開始の時の高さの９倍が最大です。
でも質量をものすごく大きくするというのは現実的ではありませんね。
Ｍ／ｍ＝１００であれば衝突前に持っていた運動エネルギーの比率はＥａ／Ｅｂ＝１００です。でも衝突でＢのエネルギーは９倍にしか増えていないのです。Ａは元のエネルギーの９割ほどを持ったままなのです。

効率よくＢにエネルギーを移すということを考えます。
それは初めにＡが持っていたエネルギーが全部Ｂに移るということではないでしょうか。
（「効率」をこのように考えましょうという立場が無ければ３倍という結果は出てきません。）

衝突後のＡのエネルギーがゼロになるのですからＡは止まるはずです。
Ｖａ＝０は　Ｍ＝３ｍ　の時に成り立ちます。
その時、Ｖｂ／Ｖｏ＝２です。

直径が３倍異なる時というのはどこにも出てきません。

直径が２倍違うとすればＭ／ｍ＝８，直径が３倍違うとすればＭ／ｍ＝２７です。
Ｍ／ｍ＝８であればＶｂ／Ｖｏ＝２．６
Ｍ／ｍ＝２７とすればＶｂ／Ｖｏ＝２．８６
です。
直径が３倍違えばほとんど最大の速さに近いものが得られます。
でも写真に写っているボールであれば直径の比は２倍よりも小さいです。
手元にあるスーパーボールでも直径が２倍違うというのはかなり大きな違いです。
普通は２倍以下でしょう。
質量が５倍違うとするとＶｂ／Ｖｏ＝２．３
反発係数が１よりも少し小さいだろうということを考慮してＶｂ／Ｖｏ≒２というのが妥当な値ではないでしょうか。これでも高さは４倍になりますから見た人は驚きます。大きい方のボールがほとんど止まってしまいますから２つのボールの挙動に大きな違いがありますので余計に印象深いものになります。

私はただ２つのボールを縦に重ねて手に持って落下させていました。
どこに飛んでいくか分からないので教室でやると探すのに大騒動でした。
でもよく飛ぶことは分かります。

お礼

質量比３：１のよく知られた弾性衝突ですね？
初め，３：１が最もよく跳ぶ…という議論であると勘違いしたものですから，あとから「効率」という言葉をかみしめて，ああ，そういうことなら…とうすうす感づいたのですが，その意味をはっきり示していただきました。
大変明快な回答をありがとうございました。