整数問題

質問

整数の組(x,y)が、1+2^x+2^(2x+1)=y^2を満たす。
このような整数解をすべて求めよ。

式を見た瞬間、2^x=Aと置きたくなりました。
1+A+2A^2=y^2
この式をいろいろ変形して考えていますが、解には届きません。
考えたのは
(1)(A+1)^2+A^2-A=y^2
　　(A+1-y)(A+1+y)=-A(A+1)
(2)４倍して、(2A+1)^2+(2A)^2+2^2=(2y)^2+1
(3)y奇数から、y=2k+1として2A^2+A=4k^2+4k
などと、ただ、当てもなく、ごちゃごちゃやっています。
アドバイスお願いします。

回答No.14

reiman · ベストアンサー

No.13 tmpnameさんのご指摘は最もなので修正させていただきます

2^x・(2^(x+1)+1)=(|y|-1)・(|y|+1)...(1)

x=-1のとき1=(|y|-1)・(|y|+1)だからy^2=2となり不成立
x<-1のとき(1)の左辺は整数にならないので不成立
よって0≦x

|y|が偶数の時：
　(1)において右辺と(2^(x+1)+1)が奇数なので2^xも奇数
　従ってx=0従って(1)より|y|=2

|y|が奇数の時：
　zを1以上整数として|y|=2・z-1とおけるので(1)は
　2^(x-2)・(2^(x+1)+1)=(z-1)・z...(2)
　となり(2)の右辺は偶数なので2<xである

　zが偶数のとき：
　　kを1以上奇数としてz=k・2^(x-2)とおけ(2)は
　　2^(x+1)+1=(k・2^(x-2)-1)・k
　　整理して
　　(k^2-8)・2^(x-2)-(k+1)=0
　　k=1の時には明らかに左辺は負
　　5≦kの時には
　　左辺>(k^2-8)-(k+1)=(k-5)^2+9・(k-5)+11>0
　　k=3としてみると2^(x-2)-4=0でありx=4となる
　　(1)に代入して|y|=23

　zが奇数のとき：
　　z-1が偶数なのでkを1以上奇数として
　　z-1=k・2^(x-2)とおけ(2)は
　　2^(x+1)+1=k・(k・2^(x-2)+1)
　　整理して
　　(k^2-8)・2^(x-2)+k-1=0
　　k=1の時には明らかに左辺は負
　　5≦kの時には明らかに左辺は正
　　k=3としてみると2^(x-2)+2=0であり不成立

以上まとめると
(x,|y|)=(0,2) or (x,|y|)=(4,23)

回答No.3

reiman

A=2^x:奇数

回答No.2

reiman

奇数の積

お礼

回答ありがとうございます
もう少しシンプルにして
y-1=2*a,y+1=2*(a+1)とでき、
a(a+1)=1+2^(x+1)
となるのか。
この後の処理が、・・・・。

回答No.1

reiman

A(2A+1)=(y-1)(y+1)

お礼

回答ありがとうございます
これをヒントに次ぎのように考えました。
y-1=(2^s)*a,y+1=(2^t)*bとし、
2A+1がaとbにどう分けられるかが、わかれば
うまくいきそうであるが，2A+1=2^(x+1)+1の
分け方について、アドバイスがあればありがたいです。