補間曲線を関数で求める

質問

いくつかの離散的なデータに対する補間曲線を求めたいです。
また、その補間曲線を関数を用いて求めることを行いたいのですが、
分かるかたが居ましたら、具体的な方法について教えて頂けないでしょうか？

使用するデータは二次元のデータになり、総数としましては約10点程です。
具体的なデータは以下のようになります。
x y
22.5 672
27.5 491
32.5 331
37.5 269
・
・
・
この様に続いているデータに対して
次数が2以上の曲線を関数で求めたいのです。
（例：3x^2+4x+3）。
スプライン曲線や重回帰法などを見ておりますが、
よく理解できません。
どうぞよろしくお願いします。

回答No.2

hrsmmhr · ベストアンサー

単調減少で一次の回帰分析をするのでしたら
y=ax+bなる直線になることを仮定して
E(y)=E(ax+b)=aE(x)+b…(1)
V(y)=E((y-E(y))^2)=E((ax+b-E(ax+b))^2)=E((ax-E(ax))^2)=a^2E((x-E(x))^2)=a^2V(x)
を計算することで(2)からaが（単調減少が既知なので負の傾きで算出）
(1)とaからbが出ることになります

ちなみにE()は平均値（１次モーメント）
V()は分散（２次モーメント）で、V()は
V(x)=E((x-E(x))^2)=E(x^2-2xE(x)+E(x)^2)=E(x^2)-(E(x))^2
V(y)=E((y-E(y))^2)=E(y^2-2yE(y)+E(y)^2)=E(y^2)-(E(y))^2
と計算するのが楽です

お礼

回答ありがとうございます。
是非、参考にさせて頂きます。

ただ、出来れば作成したい補間曲線は
2次以上を希望しています。

よろしければ、2次以上の方法も
併せて教えていただけないでしょうか？

回答No.3

hrsmmhr

なぜ単調減少なのに２次以上が必要なのか？
と思います。２次以上だと減少から増加したり、増加から減少したりする
極値が出てきます

この方法でも２次以上も出来るかもしれません
基本はモーメントの次数を追加して
各係数の連立方程式を解くことになると思います
ただ１次のときには１次方程式で済みましたが、
２次以上だと２次以上の項（y=ax^2+bx+cならab等という項）が出てくる可能性がありますので
いつもうまく計算できるのか保証できません

難しそうとだけ申し上げます

回答No.1

hrsmmhr

どんな曲線で補間したいかによると思います
多項式で10点ほどなら、
y=ax^9+bx^8+cx^7+dx^6+ex^5+fx^4+gx^3+hx^2+ix+j
とおいて10個の連立1次方程式を解けば一つの補完曲線は描けます

でも降順に9→0乗の項で多項式を定義しなくても
重ならない適当な10個の乗数の多項式でも解はでるので
いくらでも補間曲線は描けるということになります

お礼

お早い回答ありがとうございます。

今回の補間曲線の目的としましては以下のようになります。
約10個のデータをもったグループがいくつもあり、
そのグループの比較を行いたいのです。

その際に比較する手段として補間曲線を用いたいと考えています。
得られた曲線の最も高い次数の係数を比較することによって、
各グループがどれほどの変動になっているかを比較したいのです。

そのため、大まかな傾向が分かる様なものであればいいので、
次数についてもそれ程高いものである必要はありません。

言い忘れておりましたが、データの傾向としましては
必ず右下がりのデータになっております。