地球の中心を貫く井戸の気圧
小学生の時に読んだ話ですが：地球の中心を通して真っ直ぐなパイプを向こう側に突き抜けるまで刺す。この井戸に飛び込めば、「地球の裏側」に到達するまで数十分しか掛からないとか。
では、地球を密度が一様な半径R≒6.4×10^6[m]の球体と仮定し、パイプの両端は地表で開放されており、パイプの中は深さによらず気温を一定にしてあると仮定して、地球の中心におけるパイプ内の気圧は幾らぐらいになるんでしょう？
地球の中心からh [m]（0≦h≦R)の場所において働く重力加速度g(h)は（地球を密度が一様と仮定したので）
g(h)∝h
だから、地表での重力加速度 g(R)≒10[m/s^2]を使って、
g(h)=(g(R)/R)h
気温一定なので、大気の密度ρ(h)は大気圧P(h)に比例する。
ρ(h)∝P(h)
だから、P(R)≒(10^5) [Pa] =(10^5) [kg/m/s^2]と、ρ(R)≒1.3 [kg/m^3]を使って
ρ(h)=(ρ(R)P(h))/P(R)
従って、hの微小変化による圧力の変化は
dP/dh = - ρ(h)g(h)
ゆえに
dP/dh = - ((ρ(R)g(R))/(P(R)R)) h P(h)
です。この微分方程式の解として
P(h) = P(R) exp[(ρ(R)g(R)(R - ((h^2) / R)) / (2P(R))]
が得られます（exp[x]は指数関数）が、ここでh=0とすると
P(0)=P(R) exp[(ρ(R)g(R)R / (2P(R))]
= (10^5) exp[(1.3×10×6.4×10^6)/(2×10^5)]
≒ exp[400]
そんなバカな、という圧力です。
私は何を間違えたんでしょう？それとも、空気はある深さで高圧のために液化してしまって、それより深いところでは上記の微分方程式は成り立たない？
お礼
ありがとうございました。！