物理 気球の問題

質問

物理の問題で分からない問題があります。
皆さんの知恵をお貸しくださいm(__)m
（偏差値の低い人間が質問しているので温かく解答してください；；）
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図のように気球が地上から一様な速さVで上昇する
気球の出発地点から距離ａの地点で望遠鏡で観測し、仰角θを上昇時間ｔの関数として記録する
(1)仰角θをVとtとaを用いて表せ
(2)dθ/dtをtの関数として表せ
(3)tが十分に経過すれば、dθ/dtはa/Vt^2の形で０に近づくことを示せ
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(1)は自分なりの答えとしてはtanθ=Vt/aだと思ったのですが、これはθ＝の形で答えるべきなのでしょうか？
(2)はdθ/dtが角速度だということは分かるのですが…
(3)は皆目見当もつきません…

回答No.2

naniwacchi

#1です。

＞なぜtanθが合成関数tan(θ(t))になるのですか？
＞(tanθ)'=1/cos^2θ
＞ではいけないのですか？

tanθは θの関数ですが、θは時間とともに変化しますよね。
ですから、θ＝θ(t)という時間の関数になっています。
ということなのですが・・・

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。

＞(1)は自分なりの答えとしてはtanθ=Vt/aだと思ったのですが、
＞これはθ＝の形で答えるべきなのでしょうか？
このままでもいいと思います。
θ＝・・・の形にしても、θ＝tan^(-1)(・・・)（逆三角関数）の形になるだけですね。

＞(2)はdθ/dtが角速度だということは分かるのですが…
普通、「角速度」は円運動などの回転するものに用いることが多い言葉です。
いまの問題では、単純に
「単位時間当たりの仰角の大きくなる度合い」とでもとらえておけば、いいと思います。

で、(1)で求めた式の両辺を tで微分してみてください。
左辺のθは tの関数ですから、tan(θ(t))という合成関数の微分になります。
このまま計算していくと θが残りそうに思いますが、
いままでの式をよく見返すと a, V, tだけで書き下せることがわかります。

＞(3)は皆目見当もつきません…
(2)の結果において、tが非常に大きくなったときを考えることになります。
極限というよりも、漸近線というイメージですね。

合成関数の微分さえ乗り越えれば、できると思います。＾＾

補足

>>左辺のθは tの関数ですから、tan(θ(t))という合成関数の微分になります
なぜtanθが合成関数tan(θ(t))になるのですか？
(tanθ)'=1/cos^2θ
ではいけないのですか？