２変数関数の極限について

質問

D：ｆの定義域

有限な極限値limf(P) (P→P_0）が存在するための条件は、P_0に収束するどんな点列｛P_n｝（ただし、P_n∈D、P_n≠P）に対しても、数列{ｆ（P_n）}が収束することである。

これを示してください。
よろしくお願いします。

回答No.4

ringohatimitu · ベストアンサー

No3です。先ほどに回答で収束先が同じでないとおかしいと書きましたがそれは間違いでした。修正します。同じであることを示しておきます。仮に違った収束先を持つとしてそれらの二つを任意にとってL,Mとします。それぞれに収束する点列をP_n,Q_nとしておきます。ここで点列R_1=P_1,R_2=Q_2,R_3=P_3,...とすると当然R_n→Pです。そして仮定からf(R_n)も収束するはずです。しかしその部分列f(R_{2n}),f(R_{2n+1})をとればそれぞれ異なる値に収束していますがこれはユークリッド空間がハウスドルフであることに矛盾します。（距離空間はハウスドルフ、すなわち任意の収束列（ネット）の部分列は同じ収束先を持つという事実がある）

回答No.3

ringohatimitu

何変数でも構いませんが背理法で示せます。
まず質問には点列による収束先が同じかどうか書かれていませんがこれは同じとしていいですよね？（でないと例えば左極限と右極限が一致しない場合質問の命題は成立しない）

で、点列による収束先をLとでもしておきましょう。そして仮にlim f(P) (P→P_0)≠Lとします。そのとき、定義からあるε>0が存在して任意の自然数nに対して|f(P_n)-L|>εが成り立つようなP_nが|P_n-P|<1/nを満たすようにとれます。これは明らかに矛盾。

回答No.2

alice_44

それの証明は、「２変数関数の極限」の定義のしかたによって変わる。
互いに同値な定義が複数知られており、その内のどれを採用するかは
教科書または講義によって異なる。場合によっては、

＞ 有限な極限値limf(P) (P→P_0）が存在するための条件は、
＞ P_0に収束するどんな点列｛P_n｝（ただし、P_n∈D、P_n≠P）に対しても、
＞ 数列{ｆ（P_n）}が収束することである。

自体を、多変数関数の極限の定義とする流儀さえある。

補足

教科書によると、
任意の正数εに対して、適当な正数δをとれば、
｜ｆ（Ｐ）-Ｌ｜＜ε　（０＜ｄ（Ｐ，Ｐ_0）＜δ）
が成り立つことです。

回答No.1

ringohatimitu

１変数ですか？どっちにしても対偶をとればよいでしょう。

補足

２変数関数の極限について