球面線形補間の図形を使った証明がわかりません

質問

※図のv0,v1,vtは単位ベクトルです。

k1については、直角三角形の斜辺と高さの比が同じ？ということから導けますか？
sinω / v1 = sin tω/k1v1
sinω = sin tω/k1 (v1は単位ベクトル)
k1 = sin tω/ sinω

k0についてが全くわかりません。
答えは　k0 = sin(1-t)ω/sinω となっております。

宜しくお願いします。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

説明なしで図だけ挙げられても、何をやってるのか解り難いが…
単位ベクトル V0, V1, Vt について、V0, V1 の成す角 ω と、
V0, Vt の成す角 tω が与えられているとき、
Vt = (k0)V0 + (k1)V1　　←[0]
となる k0, k1 を求めよ　…ってこと？

それなら、素朴にやってみよう。
所与の条件を、そのまま式にして、
|V0| = 1,　　←[1]
|V1| = 1,　　←[2]
|Vt| = 1,　　←[3]
(V0,V1) = |V0||V1|cosω,　　　←[4]
(V0,Vt) = |V0||Vt|cos(tω). 　←[5]
あとは、淡々と計算する。

[4][5] に [1][2][3] を代入し、
(V0,V1) = cosω,　　　←[4’]
(V0,Vt) = cos(tω). 　←[5’]

[3] の両辺を二乗して、
(Vt,Vt) = 1.　　←[3’]

[5’][3’] に [0] を代入し、
(k0) + (k1)(V0,V1) = cos(tω),
(k0)^2 + 2(k0)(k1)(V0,V1) + (k1)^2 = 1.

更に [4’] を代入して、
(k0) + (k1)cosω = cos(tω),　　　　　 ←[5’']
(k0)^2 + 2(k0)(k1)cosω + (k1)^2 = 1. ←[3’']

[5’'][3’'] を ko, k1 の連立方程式として解く。

[5’'] を [3’'] へ代入して ko を消去すれば、
(k1)^2 (sin ω)^2 - { sin(tω) }^2 = 0
となって、k1 = ± sin(tω) / sinω.

図より、Vt が角 ω の内部にあることから、
k1 = sin(tω) / sinω.　　←[6]

これを [5’'] へ代入すれば、
k0 = - cosω sin(tω) / sinω + cos(tω).

通分して、分子に sin の加法公式を使えば、
k0 = sin((1-t)ω) / sinω.　　←[7]

[6][7] が答え。

お礼

ありがとうございます！！
実際に理解するまで検証してみます。

これはゲーム3D数学という本で解説されてたものなのですが、
かなり端折られていました、、、
本当に助かりました。