推移関係の証明について。

質問

ＲとSはＡと関係があると仮定します。
もしＲとＳが両方とも推移関係である場合、Ｒ∪Ｓも推移関係であるという事を証明しなさい。
という問題で。

ＲとＳが両方相違関係だとすると。
Ｒ＝∀ｘ∀ｙ∀ｚ∈Ａ（xRy∧ｙＲｚ→ｘＲｚ）
Ｓ＝∀ｘ∀ｙ∀ｚ∈Ａ（xＳy∧ｙＳｚ→ｘＳｚ）

になると思うんですが。
Ｒ∪Ｓがどんな形になるのかわかりません。
一応自分でやって見たんですが。

Ｒ∪Ｓ＝∀ｘ∀ｙ∀ｚ∈Ａ（（ｘＲｙ∨ｘＳｙ）∧（ｙＲｚ∨ｙＳｚ）→（ｘＲｚ∨ｘＳｚ）

正しいのかも分からないし、イメージができません。どなたかヒントでもいいので
教えていただけないでしょうか。よろしくお願いします。

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

まずおかしな点から指摘させてもらうと
・「ＲとSはＡと関係がある」という表現はおかしい. 「R と S は A上の (2項) 関係である」というべき。
・推移関係であるときに
Ｒ＝∀ｘ∀ｙ∀ｚ∈Ａ（xRy∧ｙＲｚ→ｘＲｚ）
と書くのはよくない. 「R=」ではじめる以上, やっぱり集合として書くべきだろう. もちろん
「R は ∀ｘ∀ｙ∀ｚ∈Ａ（xRy∧ｙＲｚ→ｘＲｚ） を満たす」
なら OK.

まあやることは
∀ｘ∀ｙ∀ｚ∈Ａ（xRy∧ｙＲｚ→ｘＲｚ） と ∀ｘ∀ｙ∀ｚ∈Ａ（xＳy∧ｙＳｚ→ｘＳｚ） を仮定して ∀ｘ∀ｙ∀ｚ∈Ａ（（ｘＲｙ∨ｘＳｙ）∧（ｙＲｚ∨ｙＳｚ）→（ｘＲｚ∨ｘＳｚ） を示す
くらいでしょうか. とりあえず結論の式をばらしてから考えてはどうでしょう.

お礼

即効のご回答ありがとうございました＾＾すいません、海外の大学で学んでいるもので、日本語でどのように表現していいかわかりませんでした。

ＲとＳのつながりがさっぱり分かりません両方Ａ上の関係があるということですか？

ｘとｙとｚはＡという関係に所属している値で、Ｒという関係でｘとｙ、ｙとｚがつながっている場合、ｘとｚもＲという関係でつながっている（Ｓも同じ）。という事ですよね？でもＳとＲのつながりは何なんでしょう。ただＡという関係の中にあるｘｙｚと共有しているという考え方でいいんでしょうか。ＲとＳのつながりが分からないと

（ｘＲｙ∨ｘＳｙ）∧（ｙＲｚ∨ｙＳｚ）→（ｘＲｚ∨ｘＳｚ）

になるかどうか分かりませんよね？

頭のなかで想像できなくて意味がいまいち理解できません。ずーっと考えてるのに、もうこのrelation の所のセクションだけさっぱりです！！！！英語分からないし頭痛いです(´；ω；｀)

でもありがとうございました！

回答No.2

alice_44

証明も何も、その定理は成立しない。
ＲとＳが推移関係なら、Ｒ∧Ｓは推移関係だが、
Ｒ∨Ｓは推移関係とは限らない。

(xＲy∧￢xＳy)∧(yＳz∧￢yＲz) のとき
何がおこるか考えてみたら？