実在気体の状態方程式の微分および二階微分

質問

下記の内容について質問します。

(P+a/Vm^2)(Vm-b)=RT ・・・式(1)　ファンデルワールス式
P=RT/(Vm-b)-a/Vm^2・・・式(2)　式(1)変形式

式(2)をVmで微分すると、臨界点にてゼロとなる
(∂P/∂Vｍ)Tc = -(RTc/(Vmc-b)^2)+2a/Vmc^3 = 0　・・・式(3)

式(2)をVmで二階微分すると、臨界点にてゼロとなる
(∂^2P/∂Vｍ^2)Tc = 2RTc/(Vmc-b)^3-6a/Vmc^4 = 0　・・・式(4)

式(2)のa,bは式(3)および式(4)の関係を利用して
a = 9/8RTcVmc = 27R^2Tc^2/64Pc = 3PcVm^2　・・・式(5)
b = Vmc/3 = RTc/8Pc　・・・式(6)

＊私の知っている知識＊
偏微分とは変数が複数ある式では、一部の変数（今回のケースはTc）を一定として仮定し通常の微分を行うこと。
微分とは、関数接点の傾きを求めること。（ｘ＾3が3x^2になる等）

これらをふまえて質問します。
質問１：式(2)→式(3)を導出する過程がわかりません（私の知っている知識にも記載しましたがx^3が3x^2となり指数が少なくなるはずなのに式(3)では指数が増えています）
質問2：式(2)→式(4)をを導出する過程がわかりません（質問1と同様の理由です）
質問3：式(5)および(6)を導出する過程がわかりません（単純な代入をしているのか？どのように変形させているのか、わからない状況です）

以上の３点です。
わかる方がいましたら、ご教授願います。

回答No.2

cyba · ベストアンサー

質問１と２は回答No.1さんの通りですので、質問３の導出部分についてですが、
ご質問にあるとおり、単純な代数操作でできますので、一例をあげてみます。

式３と４から、式３＋Vmc/3×式４とすると
　-RTc/(Vmc-b)^2+2VmcRTc/3(Vmc-b)^3=0
これをbについて解くと
　b=Vmc/3　（Vmc=3b）式７，８
が導けます。

このbを式３に代入すると
　-RTc/(Vmc-Vmc/3)^2+2a/Vm3=0
これをaについて解くと
　a=9RTcVmc/8　（Vmc=8a/9RTc）式９，１０

式２から
　Pc=RTc/(Vm-b)-a/Vm^2
に式７と式１０を代入すると
　Pc=3RTc/2Vm-a/(8a/9RTc)^2
式１０より
　Pc=3RTc/2(8a/9RTc)-a/(8a/9RTc)^2
これをaについて解くと
　a=27R^2Tc^2/64Pc　式１１

式９に式８を代入すると
　a=27RTcb/8
式１１より
　27RTcb/8=27R^2Tc^2/64Pc
これをbについて解くと
　b=RTc/8Pc　（RTc=8Pcb=8PcVm/3）式１２，１３

式２と式７，１３より
Pc=(8PcVm/3)/(Vm-Vm/3)-a/Vm^2
これをaについて解くと
　a=3PcVm^2

お礼

返答遅れ申し訳ありません

細部にわたり回答頂きありがとうございます
とてもわかりやすかったです

回答No.1

noname#160321

>x^3が3x^2となり指数が少なくなる
その通りです。
だからここでは指数が「負」なのでx^(-2)は-2ｘ^(-3)になります。

お礼

返答遅れ申し訳ありません

回答頂きありがとうございます
分母は分子に変換する際にマイナスになりますね
当たり前のことでした