指数がわかりません

質問

a>0,b>0のとき,(a^a)(b^b)と(a^b)(b^a)はどちらが大きいですか。

回答No.5

pascal3 · ベストアンサー

No.2 です。

> 2^2*3^3=108
> 2^3*3^2=72
ここまではいいですね。
これが a = 2, b = 3 のときの左辺と右辺の値になります。

じゃあ違う値のときはどうするのさ、ということを次に考えたいので、
それを考えるために、上記の式の途中計算に戻ります。

左辺= 2^2*3^3= 2*2 * 3*3*3 = 108
右辺 = 2^3*3^2= 2*2*2 * 3*3 = 72

左辺÷右辺 = (2*2 * 3*3*3) / (2*2*2 * 3*3) = …

と考えて、約分すると 左辺÷右辺 = 3/2 > 1 となり、
今の場合は左辺のほうが大きい。

同じ考え方で、a = 3, b = 5 とか、a = 7, b = 4 とかでも計算できますね。

ならば、いっそ文字式のままで計算できないか？
ということで、皆さんが書かれているような解答になるわけです。

お礼

a = 3, b = 5 とか、a = 7, b = 4 とかでも計算できるかもしれないけど、7を7回かけるなら電卓を使っちゃだめですか。
aとbという文字のままだと計算できないし、なにを計算しているのか意味がわかりません。

回答No.4

puusannya

Ｎｏ．１氏の回答で十分なのだとは思いましたが、指数が分かりませんと書かれているので、もう少し余分なことを付け足してみました。

ｘ＾ｍ／ｘ＾ｎ＝ｘ＾（ｍ－ｎ）
ｘ＾（－ｍ）＝１／（ｘ＾ｍ）　　は理解できていますよね。

（（ａ＾ａ）・（ｂ＾ｂ））／（（ａ＾ｂ）・（ｂ＾ａ））＝ａ＾（ａ－ｂ）／ｂ＾（ａ－ｂ）
＝（ａ／ｂ）＾（ａ－ｂ）

１．ａ＞ｂ＞０のとき　ａ／ｂ＞１，ａ－ｂ＞０　だから　（ａ／ｂ）＾（ａ－ｂ）＞１
２．ｂ＞ａ＞０のとき　ａ／ｂ＜１，ａ－ｂ＜０　だから　
　　（ａ／ｂ）＾（ａ－ｂ）＝（（ｂ／ａ）＾（－１））＾（－（ｂ－ａ））＝（ｂ／ａ）＾（ｂ－ａ）＞１

お礼

info22さんの回答でわからなかったのですが、これを読んでいたらもっとわからなくなりました。
でも、ありがとうございました。

回答No.3

kenjoko

No.１さんの回答で分かりましたか。

これは「指数法則」というのを用いた、最もシンプルな証明法です。

もし、これで分からないのなら、

「高校数学II・第三章指数関数と対数関数」の「指数の定義」、「指数法則」を勉強し直して下さい。

これができないと、このような問題は絶対に解けません。

お礼

そうですね。
ありがとうございました。

回答No.2

pascal3

「指数が分かりません」って言っている人にNo.1みたいに証明を書いてあげるのは有害だと思います。 指数が分かるようになるために、まず

2^2 はいくらか分かりますか？
3^3 は？
2^3 は？
3^2 は？

ということを確認して、そのあと

では 2^2 * 3^3 と 2^3 * 3^2 ではどちらが大きい？
（ヒント：（左辺）÷（右辺）を計算）

みたいに考えていくべきでしょう。

お礼

2^2=4
3^3=27
2^3=8
3^2=9
2^2*3^3=108
2^3*3^2=72
108のほうが大きい。

回答No.1

info22_

(a^a)(b^b)≧(a^b)(b^a)
（等号はa=bのとき成立）

a>b>0のとき
a/b>1,a-b>0なので　(a/b)^(a-b)>1 ∴(a^a)(b^b)>(a^b)(b^a)

0<a<bのとき
b/a>1,b-a>0なので　(a/b)^(a-b)=(b/a)^(b-a)>1 ∴(a^a)(b^b)>(a^b)(b^a)

a=b>0のとき
(a^a)(b^b)=(a^b)(b^a)

以上から
∴(a^a)(b^b)≧(a^b)(b^a)　（等号はa=bのとき）

お礼

ありがとうございました