クレーンの問題について質問です。

質問

クレーンの問題について質問です。

今月、クレーン・デリック運転士免許（クレーン限定）の
学科試験（国家試験）を受けます。

問題集を解いていて分からない事があったので、
質問させていただきます。

◆力の平行四辺形の法則に関する問題で、
作用点の異なる二つの力の合力を求めるときは、
この法則は用いることができない。

答えは誤りになっていましたが、
作用点が異なる二つの合力を求めることが出来るのでしょうか？

詳しく説明出来る方いましたら、
宜しくお願い致します。

回答No.1

EleMech · ベストアンサー

「二つの異なる作用点」というのは、力が別々の方向に働いている事を指しています。
そして支点は、異なる点から始まっていても、合成する時は同一の点からそれぞれの方向に向かって行くと考えます。

添付した図の(1)を見てください。
点oを同一支点として、ベクトルa、ベクトルbの力が別々に働いると考えます。
合成した力はベクトルｃとなり、a又はbより大きくなります。
このように支点を同一にする事で、力の方向と大きさを表す事ができるようになります。
これがベクトル図というもので、矢印の方向が力の方向で、矢印の長さが力の大きさになります。

このベクトル図に欠かせない物が、三角関数という考え方です。
あのsinθ(サイン・シータ)、cos(コサイン)θ、tan(タンジェント)θという取っ付きにくいやつです。
これらは何を表しているのかと言うと、直角三角形における、それぞれの二辺の長さの比を表したものです。
図(2)を見てください。
　b / c = sinθ
　a / c = cosθ
　a / b = tanθ
の事で、ある角度の直角三角形では、どのような大きさの物でも、必ずこれらの二辺の比は同じになります。

この事から、逆にある角度での二辺の比と一辺の長さがの方が分かっている時、ここから
もう一辺の長さを導き出す事ができます。
　b = c sinθ
　a = c cosθ
　a = b tanθ
これらは、上の公式を転回したものです。

ここから、ベクトル図の重要な使用方法が導き出せます。
ベクトルは、矢印の長さが力の大きさを表すので、図(2)の場合にｃが５cm、ｂが３cmとした時に、ｃの力が実際は１０(N)とすると、ｂの実際の力は、
　b = c sinθなので、
　 = 10 × (3 / 5)
　 = 6 (N)
と、導き出す事ができ、合成した力１０(N)を得るには、６(N)の力をｂ方向に加えればよいという風な計算もできます。
これが、三角関数の本領発揮の部分です。

これを踏まえた上で、平行四辺形の図(3)ですが、まず
　b = b'
　θ=θ'
である事は、お分かりでしょうか？
平行四辺形なので、対する辺長と角度は同じ物なので、両者は同じという導きになります。
次に直角三角形を探さなくてはなりません。
ベクトルcの作用点から垂線を下ろして、直角三角形を作ります。
ただ、このままでは辺長を得る事ができません。
この部分を先ほどの計算式から導き出します。
bの長さ、角度は出ているので、それを用います。
　b cosθ
そして、直角三角形の底辺の長さは、
　a + b cosθ
次に、垂辺の長さは、
　b sinθ
底辺と垂辺が分かったので、もう一つの公式　斜辺 = √(底辺^2 + 垂辺^2)を用います。
　c = √((a + b cosθ)^2 + (b sinθ)^2)
　 = √(a^2 + b^2cos^2θ + 2ab cosθ + b^2sin^2θ)
　 = √(a^2 + b^2(cosθ + sinθ) + 2ab cosθ　　（sinθ+cosθ=1なので)
　 = √(a^2 + b^2 + 2ab cosθ)

お礼

有難う御座いました。

回答No.3

EleMech

No.1です。
最後のｃを求める計算途中の記載がが間違っていました。
「」内を修正しています。
答えは、合っています。

c = √((a + b cosθ)^2 + (b sinθ)^2)
　 = √(a^2 + b^2cos^2θ + 2ab cosθ + b^2sin^2θ)

「 = √(a^2 + b^2(cos^2θ + sin^2θ) + 2ab cosθ　　（sin^2θ+cos^2θ = 1 の法則より)」

　 = √(a^2 + b^2 + 2ab cosθ)

このようにして、合成力を求める事ができます。
故に、問題文の「平行四辺形の法則を用いる事ができない」という問いの答えは、用いる事ができるので「誤り」となります。

お礼

大変参考になりました。
有難う御座います。

回答No.2

EleMech

No.1です。
図を添付し忘れていました。
追加します。

お礼

有難う御座いました。